Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Понятие и основные свойства функцииПостоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу . Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром. Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении S=vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр. Перейдем к понятию функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждому элементу x множества X (x X) ставится в соответствие вполне определенный элемент y множества Y (y Y), то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x). При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия. Множество X называется областью определения (или существования) функции и обозначается , а множество Y – областью значений функции и обозначается . Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной x, т.е. множество таких значений x, при которых функция y=f(x) вообще имеет смысл. Пусть есть функция от независимой переменной x, определенной на множестве X с областью значений Y. Поставим(если это возможно) в соответствие каждому единственное значение , при котором Тогда полученная функция , определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной. Будем записывать обратную функцию в виде или, по аналогии с обозначением обратной величины, . Известно, что функция имеет обратную на промежутке (a;b) тогда и только тогда, когда она строго монотонна на этом промежутке (см. раздел 2.8). Среди функций выделяют основные элементарные функции, к ним относятся степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются э лементарными (подробнее см. раздел 2.9). ПРИМЕР 1. Область определения функции y= есть полуинтервал (- ; 10], так как 10- x 0; если же переменная x обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии x 0 областью определения функции будет отрезок [0; 10]. Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции. а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида y=f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция y = , рассматриваемая выше, задана аналитически. Не следует путать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция y= имеет два аналитических выражения (при x <0) и x +3 (при x 0). При этом различают функции, заданные явно, и функции, заданные неявно. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит независимой переменной; например, функция Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением ,не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция y(), заданная уравнением . б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции f(x), пример:
в) Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x). г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(x) = 1, если x – рационально; f(x) = 0, если x – иррационально. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 1. Найти область определения функций: 1. ; 2. . Решение. 1. Область определения функции найдем из системы неравенств откуда или . 2. Область определения функции найдем из системы неравенств откуда и С помощью числовой оси находим, что . ПРИМЕР 2. Найти область значений функций: 1. . Решение. Выразим x через y. Получим функцию , заданную неявно квадратным уравнением Область определения этой функции найдется из условия, что дискриминант , т. е. или . Таким образом, Отсюда также следует, что функция является ограниченной. 2. . Решение. Преобразуем функцию Отсюда видно, что область значений функции УПРАЖНЕНИЯ Найти область определения функций: 2.1. . 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16.
Найти область значений функций: 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 2.23. 2.24. 2.25.
Ответы к упражнениям 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. множество вещественных чисел 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. . 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 2.23. 2.24. 2.25.
|