Предел функции в точке и в бесконечности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число А есть предел функции f(x) в точке х₀ , если для любой ширины e полосы (А+ e, А- e) существует такое значение δ(ε)>0, что для всех х, не равных х₀, попадающих в δ – окрестность точки х₀ (|х - х₀| < δ) выполняется неравенство | f(x)-A|< e (значения функции не выходят из выбранной полосы, как бы мала ни была ее ширина e).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число А есть предел функции f(x) в бесконечности, если для любой ширины e полосы (А+ e, А- e) существует такое значение Е(х) аргумента х, что для всех х, следующих за Е(х) (х > Е(х) для случая плюс бесконечности или х < Е(х) для минус бесконечности) выполняется | f(x) -A|< e (значения функции не выходят из выбранной полосы, как бы мала она не была).

Замечание 1. Если при стремлении x к x₀ переменная x принимает лишь значения, меньшие x₀, или, наоборот, лишь значения, большие x₀, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f(x), соответственно слева и справа .

Определение этих пределов аналогично определению 1, только x берется не из всей δ – окрестности точки x₀, а из левой окрестности(x ₀- δ, x₀) для левостороннего предела иправой окрестности (x₀, x₀+δ) для правостороннего.

При этом, если , то .

Первым замечательным пределом называется

.

Вторым замечательным пределом называется

.

Производная функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции f(x) в точке x₀ называется конечный предел (если он существует) отношения приращения функции (Dy) к приращению аргумента (Dх) при стремлении последнего к нулю.

Таблица 1. Производные основных элементарных функций.

f(x)

Таблица 2. Правила дифференцирования.

Производная алгебраической суммы функций
Производная алгебраической суммы функций
Производная произведения
Производная сложной функции

Функция