Максимумы и минимумы функции

Интервал , где >0, называется окрестностью точки .

Если функция y=f(x) определена на промежутке (a, b), то внутренняя точка этого промежутка называется точкой максимума функции f(x) (точкой минимума функции f(x)), если существует такая окрестность точки , в которой для всех x выполняется неравенство (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если в точке достигается экстремум функции, то в точке производная равна нулю или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки .

а) Если при x < и при x > (т.е. при переходе через производная меняет знак + на знак -), то в точке функция достигает максимума;

б) Если для x < и для x > (т.е. при переходе через производная меняет знак – на знак +), то в точке функция достигает минимума;

в) Если при переходе через производная знак не меняет, то в точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть в критической точке функция f(x) дважды дифференцируема. Если при этом , то в точке функция достигает максимума, если , то в точке достигается минимум функции f(x).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Исследовать на экстремум функцию

f(x) = ;

Решение.

Критическими точками являются корни уравнения

т.е. точки , . В примере 1 установлено, что:

для x <-1

для -1< x <4, поэтому в точке = -1 достигается максимум функции

f( -1 ) =20.

Справедливо также неравенство:

для x >4, поэтому в точке = 4 достигается минимум функции

f( 4 ) = -105.

ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = .

Решение. Критические точки определяются из уравнения

т.е. =0, =2.

Ранее были установлены следующие неравенства:

для x <0,

для 0< x <2,

для 2< x <+ .

Таким образом, при переходе через =0 производная меняет знак с – на знак +, а при переходе через =2 со знака + на знак -, поэтому в точке =0 достигается минимум, равный f( 0 ) =0, а в точке =2 – максимум, равный f( 2 ) =0.541.

ПРИМЕР 3. Исследовать на экстремум функцию f(x) = .

Решение.

Критические точки находятся из уравнения

, отсюда = -1, =1. Так как справедливы неравенства

1+ >0 для - < x <+ ,

1- <0 для - < x <-1,

1- >0 для -1< x <1,

1- <0 для 1< x <+ , то в точке =-1 достигается минимум, равный f( -1 ) = -0.5, а в точке =1 максимум, равный f( 1 ) =0.5.

ПРИМЕР 4. Исследовать на экстремум функцию f(x) = .

Решение.

.

Отсюда видно, что точка х=0 – точка минимума.

УПРАЖНЕНИЯ

Исследовать на экстремум следующие функции:

2.82. f(x) = ln(1- );

2.83. f(x) = ;

2.84. f(x) = ;

2.85. f(x) = x - ln(1+ ).

2.86. f(x) = ;

2.87. f(x) = ;

2.88. f(x) = .

2.89.

2.90.

2.91.

2.92.

2.93.

Ответы к упражнениям

2.82. Точка максимума , f( 0 ) = 0; 2.83. Точка максимума = 0.5, f( 0.5 ) =24.25, точка минимума =3, f( 3 ) = -154; 2.84. Точка максимума =1.5, f( 1.5 ) = 0.168; 2.85. Функция монотонно возрастает, экстремумов нет; 2.86. Точка максимума =0, f( 0 ) =1, точки минимума =2, f( 2 ) =1, = -2, f( -2 ) =1; 2.87. Точка максимума =1, f( 1 ) =1, точка минимума = -1, f( -1 ) = -1; 2.88. Точка минимума = , f( ) = . 2.89. 2.90. 2.91. экстремумов нет. 2.92. . 2.93.