Обработка экспериментальных данных

Для того чтобы по полученной выборке делать вывод о свойствах совокупности, она должна быть репрезентативной (представительной), т.е. полно и адекватно представлять свойства генеральной совокупности. Все ошибки выборочного наблюдения подразделяются на ошибки выборки, наблюдения и ошибки, вызванные отклонением от схемы отбора. Если ошибки выборки превышают допустимый размер погрешности, тогда точность низкая, но и слишком высокая подозрительна т.к. чаще свидетельствует об ошибках отбора.

При применении выборочного наблюдения возникают три основные задачи:

Ø определение объема выборки, необходимого для получения требуемой точности результатов с заданной вероятностью;

Ø определение возможного предела ошибки репрезентативности, гарантированного с заданной вероятностью, и сравнение его с величиной допустимой погрешности;

Ø определение вероятности того, что ошибка выборки не превышает допустимой погрешности.

Все эти задачи решаются на основе теоремы Чебышева, согласно которой , когда n – достаточно большое число; е и h – сколь угодно малые положительные числа. Это соотношение может быть выражено через формулу предельной ошибки выборки . Решение таких задач зависит от того, какие величины в формуле предельной ошибки заданы, какие определяются.

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе данных, полученных по выборке. При этом исходят из того, что все средние и относительные показатели, полученные по выборке, являются не смещенными и эффективными характеристиками генеральной совокупности.

Значение величины t при определении предельной ошибки выборки может быть установлено по таблице «Значений интеграла вероятностей» (12). Для этого принимают уровень вероятности суждения о точности данной выборки. Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого объема из большой генеральной совокупности. Но уже при n <100 получается несоответствие между табличными данными и вероятностью предела; при n <30 погрешность становится значительной. Несоответствие вызывается характером распределения единиц генеральной совокупности. При большом объеме выборки особенности распределения и генеральной совокупности не имеют значения, т.к. распределение отклонений выборочного показателя от генеральной характеристики при большой выборке всегда оказывается нормальным.

В выборках небольшого объема (n <30) характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100) отбор должен производиться из совокупности, имеющей нормальное распределение. Теория малых выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (псевдоним – Стьюдент) в начале XX в. В 1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет при малых выборках соотносить t и доверительную вероятность F (t).

Данный метод позволяет выявить грубые погрешности в результатах эксперимента, определить воспроизводимость опытов, доверительный интервал и относительную погрешность определяемой величины. Использование малых выборок в ряде случаев обусловлено характером обследуемой совокупности.

Воспроизводимость результатов совокупности измерений чаще всего выражаются е помощью среднеквадратичного отклонения (СКО) – S. Квадрат среднеквадратического отклонения называется выборочной дисперсией распределения, которая является мерой отклонения результатов измерения.

Распределение Стьюдента имеет только один параметр d.f. – число степеней свободы (иногда обозначается как k), которое равно числу тех индивидуальных значений, которыми нужно располагать для определения искомой характеристики. Поэтому при расчете дисперсии d.f. =n-l.

Последовательность обработки результатов измерений с использованием метода Стьюдента для определения доверительного интервала, относительной погрешности измерений и обнаружения грубых погрешностей представлены ниже. Например, произведено 10 независимых измерений силы тока, которые дали следующие значения, подчиняющиеся нормальному закону распределения.

1. 1 Определение среднего значения полученного результата

Вычисление среднего арифметического представленного массива значений производят по формуле: ;

где: Х ₁, Х ₂, X ₃,... X_i, означают n результатов определений какой-либо величины, в нашем примере n =10; Х ₁=10,07; Х ₂=10,08; Х ₃=10,10; X ₄=10,12, Х ₅=10,13; Х ₆=10,15; Х ₇=10,16; Х ₈=10,17; Х ₉=10,20; Х ₁₀=10,40 А; =101,58.

1.2 Определение СКО данной совокупности (S)

СКО результата измерений (стандартное отклонение) вычисляется по формуле: ; где:

Хi
10,07	10,16	-0,09	0,0081
10,08	-0,08	0,0064
10,10	-0,06	0,0036
10,12	-0,04	0,0016
10,13	-0,03	0,0009
10,15	0,01	0,0001
10,16
10,17	0,01	0,0001
10,20	0,04	0 0016
10,40	0,24	0,0576
У		0,08

1.3 Вычисление коэффициента вариации (V)

Применяя любой вид статистических показателей, полезно знать, каковы предельные возможности данного показателя для изучаемой системы и каково отношение фактически наблюдаемых значений к предельно возможным. Очевидно, что минимально возможное значение показателя вариации достигается при строго равномерном распределении объемного признака между всеми единицами совокупности. В таком предельном (теоретическом) распределении вариация отсутствует и все её показатели равны нулю. Коэффициент вариации, в частности, характеризует степень отклонения результатов от среднего значения: .

Его используют в тех случаях, когда необходимо сравнить степень изменчивости нескольких выборок, имеющих различные усредненные показатели или различные единицы измерения. Если V меньше 20 %, то выборку считают однородной, а среднюю надежной. Если V больше 20 %, то выборка не однородна и средняя не надежна.

1. 4 Определение СКО погрешности среднего значения ()

Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от количества экспериментальных данных, то увеличивая количество измерений одной и той же величины, можно добиться увеличения точности измерений. При этом средняя ошибка средней (стандартная ошибка) вычисляется по формуле: .

Эта формула говорит о том, что, например, при 4-х опытах погрешность измерений уменьшится в 2 раза, при 16 – в 4 раза. Для того, чтобы уменьшить среднюю ошибку выборки в п раз необходимо провести определений.

1.5 Определение предела возможной погрешности выборки или доверительного интервала результатов измерений для определенной вероятности (Δ_Х)

; где: – табличная величина, соответствующая заданной доверительной вероятности (Р), с которой будут гарантированы оценки n -ой совокупности по данным выборочного обследования (критерий Стьюдента). Этот критерий находится по таблице Приложения 1 для заданной доверительной вероятности и данной выборки. Данная величина (Δ_Х) показывает надежность результатов серии измерений того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал.

В большинстве случаев при исследовании качества продукции или товаров доверительная вероятность принимается равной 0,95 и реже 0,99.

В имеющемся примере для сравнения доверительных интервалов определим доверительную погрешность при различных значениях доверительной вероятности: Р=0,90; Р=0,95 и Р=0,99.

В Приложении 1 находим значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы d.f. = n -1=9: для ;

для ;

для .

Предел возможной погрешности результатов измерений:

;

;

.

1.6 Построение доверительных интервалов

Доверительный интервал – интервал, в котором с заданной вероятностью находятся истинные значения X: или .

При записях среднего значения результата, среднего квадратического отклонения или его аналога необходимо придерживаться следующих правил: величина погрешности выражается одной или двумя значащими цифрами. Две значащие цифры удерживаются при особо точных измерениях и когда значащая цифра старшего разряда меньше 4. В промежуточных вычислениях сохраняется на одну значащую цифру больше. Величина среднего результата должна оканчиваться результатом, которым начинается погрешность. В приведенном выше примере: .

Доверительный интервал 10,16±0,06 соответствующий доверительной вероятности Р=0,90 или 10,10≤Х≤10,22, т.е. в 90 % случаев истинное значение измеряемой величины Х находится в пределах от 10,10 до 10,22 А, а в 10 % случаев значение Х окажется за этими пределами и т.д.

Таким образом, чтобы охарактеризовать значение измеряемой величины, необходимо знать: усредненное значение, среднеквадратическое отклонение, объем выборки и доверительную вероятность.

Вышеприведенные расчеты показывают, что большей доверительной вероятности (0,99>0,90) при одинаковой выборке соответствует большее значение доверительной погрешности () и, следовательно, больший доверительный интервал (интервал 10,06↔10,26 при P_0,99 больше интервала 10,10↔10,22 при Р_0,90).