Задача 2. Равновесие твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил

Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рисунок 5.1). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1 N.

Рисунок 5.1

На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т₁ = Н, Т ₂ = Н. Груз Q = Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Р₁ = Н, Р ₂ = Н, Р ₃ = Н. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R ₁= 26 см, R ₂ = 10 см, R ₃ = 11 см и расстояния между характер­ными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 см, d = 26 см. Общая длина вала L = a + b + c + d; α =30°.

Решение.

1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями Z_A, Х_А и Z_B, Х_В (рисунок 6.1). Вес вала G приложим в центре. Вес груза изобразим вектором Q.

Рисунок 6.1

2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вала:

.

Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось у и их моменты относительно оси вала равны нулю.

Из полученного уравнения находим

По условию N = F /0,1 = Н.

3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарниры А и В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость zy (рисунок 7.1). Таким образом, вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.

Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрица­тельным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости zy (и поэтому не изображенных на рисунке 7.1), относительно любой ее точки равны нулю.

Рисунок 7.1

Решая уравнения

находим Z_A = H, Z_B = H.

4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось z (рисунок 7.1):

5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем горизонтальную проекцию силовой схемы (рисунок 8.1):

Решая уравнения, находим Х_А = Н, Х_В = Н.

6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакций:

Рисунок 8.1

Результаты расчетов в Н заносим в таблицу:

Вопросы для защиты задачи

1.Условия и уравнения равновесия пространственной произвольной системы сил.

2. Что такое момент силы относительно оси?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

4. Типы связей и их реакции.

5.Задачи статики.

Второй раздел теоретической механики «КИНЕМАТИКА»