Формулювання задачі наближення функцій

Важним і цікавим є питання переходу від табличного способу завдання функції до аналітичного. Це дозволить уникнути вказаних вище недоліків табличного способу завдання функції.

Можна сформулювати таку задачу: нехай за допомогою таблиці (табл. 5.1) задано функцію . Знайти по можливості простий аналітичний вираз цієї функції.

Таблиця 5.1 – Функція

x				…
y				…

Спочатку задаються видом функції. Для цієї мети практично важливим є використання поліномів:

– алгебричного

; (5.1)

– тригонометричного

(5.2)

– експоненціального

(5.3)

Після того, як вид функції задано, стає задача визначення невідомих коефіцієнтів а_і (b_i) так, щоб досягти найменшого відхилення поліному від заданої функції у(х). Що стосується терміну «найменше відхилення», то може бути два випадки.

В першому ставиться задача точного відтворення всіх значень функції, що задані в табл. 5.1. Така задача називається інтерполяцією функції.

В другому випадку, коли табличні дані одержані, наприклад, в експерименті і містять експериментальні похибки, коефіцієнти полінома знаходять так, щоб вказані в табл. 5.1 значення функції описувались наближено (нема сенсу повторювати помилки, які були допущені в експерименті). Така задача називається апроксимацією функції.