Метод Ньютона

Цей метод має набагато швидкішу збіжність, чим метод ітерацій.

В основі методу Ньютона для СНР лежить використання розкладення функції в ряд Тейлора і відкидання членів, що містять похідні порядку вище першого, тобто із рівнянь виділяють лінійні частини, які є головними при малих прирощеннях аргументів.

Розв‘язання СНР можна записати у вигляді

, (4.7)

де – обернена матриця Якобі

.

Для існування єдиного розв‘язку СНР визначник матриці W (його називають якобіаном) не має дорівнювати нулю на кожній ітерації.

Частинні похідні в W можна замінити їх наближеними кінцево-різничними значеннями

,

де h_i – мале прирощення х_і, наприклад, .

Ітерації завершуються, коли всі прирощення стають малими за величиною

.

В методі Ньютона початкове наближення параметрів обирається так же, як і в методі ітерацій для забезпечення збіжності ітераційного процесу.

Для системи двох нелінійних рівнянь, де прийняті такі позначення: х₁ = х і х₂ = у,

(4.8)

ітераційні формули методу Ньютона в компактній формі мають вигляд:

, , (4.9)

де визначники J, J₁, J₂ являють собою

,,.