Интервальное оценивание характеристик случайной величины

Оценка, выраженная в виде интервала, в котором с некоторой вероятностью предполагается нахождение истинного значения характеристики случайной величины, является интервальной оценкой.

Интервальное оценивание характеристик (параметров) распределения случайной величины более достоверное, чем точечное, его используют при сравнительно малом объёме выборки, когда точечные оценки слишком недостоверны.

Определение интервальной оценки математического ожидания.

В данном случае истинное значение дисперсии и стандартного отклонения случайной величины неизвестно. Принимается, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Известно, что оценка математического ожидания , при неизвестном S распределена, как t-распределение Стьюдента, с числом степеней свободы n-1, а интервальная оценка математического ожидания случайной величины определяется по формуле

.

Интервальная оценка определяется для двух вариантов значений доверительной вероятности p = 0,95 и p = 0,9.

При p = 0,95;

; ; n-1=30-1=29; ; 1 - .

По таблице квантилей t-распределения Стьюдента (приложение А, таблица А1) определяется квантиль

.

Таким образом

;

.

При p = 0,9;

; ; n-1=30-1=29;

Таким образом:

.

При уменьшении доверительной вероятности оценочный интервал математического ожидания случайной величины сужается.

Выводы:

- интервальное оценивание характеристик (параметров) распределения случайной величины более достоверное, чем точечное, при этом важной информацией является доверительная вероятность нахождения истинного значения характеристики в данном интервале;

- при уменьшении доверительной вероятности интервал оценки сужается, при этом точность оценки характеристики случайной величины повышается, а достоверность оценки уменьшается.

5 Статистический приёмочный контроль. Определение вероятностного уровня дефектности партии при статистическом приёмочном контроле по количественному признаку

Определение вероятностного уровня дефектности партии производится при статистическом (выборочном) приёмочном контроле продукции по количественному признаку. В процессе приёмочного выборочного контроля производится проверка гипотез:

Н₀ – уровень дефектности не превышает заданного значения, партия годная;

Н₁ – уровень дефектности превышает заданное значение, партия дефектная.

Если в процессе производства не выдерживаются технические условия и вероятностный уровень дефектности превышает допустимый уровень, то возникает необходимость сортировать продукцию и удалять или исправлять дефектные изделия.

1 Находятся назначенные конструктором допуск, предельные допустимые размеры и средний размер обрабатываемого отверстия:

TD = 0,021 мм; D_min = 20 мм; D_max = 20,021 мм; D_m = 20,0105 мм.

2 Приближённое значение уровня дефектности партии можно найти по результатам контроля выборочных единиц, из которых 2 единицы выходят за пределы допуска. Таким образом .

3 При приёмочном контроле партии втулок (N = 500 шт) по количественному признаку принимается, что распределение размеров отверстия соответствует нормальному закону с параметрами µ = = =20,0102 мм и s = . Данный закон показан на рисунке 5, где также изображено поле допуска на размер отверстия.

4 Для определения вероятностного уровня дефектности партии втулок q необходимо найти квантили нормального распределения, соответствующие границам поля допуска:

;

.

Рисунок 5- Схема для определения уровня деффектности партии

5 По таблицам интеграла Лапласа находятся его значения при z ₁ =1,89 и z ₂ = 2,0 = 0,4706 и = 0,4772, а затем определяются относительные площади, соответствующие уровням дефектности q ₁ и q ₂ (см. рисунок 5):

;

;

Суммарный вероятностный уровень дефектности партии равен

,

что согласуется с найденным приближённым значением уровня дефектности, но значительно выше приёмочного уровня.

Выводы:

- при сравнении с заданным приёмочным уровнем дефектности AQL = 1 % установлено, что вероятностный уровень дефектности существенно выше, партия не принимается.

- при выборочном контроле установлено, что вероятностный уровень дефектности партии втулок достаточно высокий и превышает заданный приёмочный уровень, следовательно технологический процесс не обеспечивает необходимый диапазон рассеивания размеров (допуск), необходимо вмешательство с целью выяснения и устранения причин большого значения стандартного отклонения процесса