Решение. Откуда получим . Вычислим (см

.

Тогда

Откуда получим . Вычислим (см. предыдущий пример).

Тогда

Кривые второго порядка

В декартовой системе координат общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

(2)

где не все коэффициенты , и одновременно равны нулю. Если , то уравнение определяет прямую линию.

В декартовой системе координат уравнение (2) примет один из следующих видов:

1) каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом ;

2) каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями и ;

3) канонические уравнения гиперболы:

а) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;

б) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;

4) канонические уравнения параболы:

а) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

б) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

Используя каноническое уравнение кривой, легко построить график данной линии в декартовой системе координат.

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

а)

.

Разделим обе части уравнения на 144: . Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . Сделаем схематический чертеж.

б)

парабола с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

в) .

Преобразуем это уравнение, возведя обе части в квадрат

, , , .

Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями , . Если решить данное уравнение относительно , получим

, .

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой , т.е. половину эллипса, расположенную ниже оси .