Законы распределения основных статистик для нормальной генеральной совокупности

В некоторых вопросах представляют интерес законы распределения различных статистик, т.е. функций Z = Z (X ₁, X ₂,..., X_n) случайной выборки (X ₁, X ₂,..., X_n) из генеральной совокупности X. Например, такими статистиками могут быть выборочное среднее, выборочные дисперсии отношение выборочных дисперсий двух генеральных совокупностей и т.п.:

	(выборочное среднее),
	(выборочная дисперсия, m = M [ X ] известно),
	(исправленная выборочная дисперсия).

Рассмотрим законы распределения основных статистик для одной или двух генеральных совокупностей в предположении, что генеральные совокупности имеют нормальный закон распределения.

Распределение выборочной дисперсии

Поскольку , то и , поэтому

(10.10)

.

Представим S ₀ в виде . Учитывая независимость в совокупности элементов X_i случайной выборки получаем: (распределение «хи-квадрат»). Таким образом, или, в стандартизованном виде

(10.11)

(напомним, что символом x ₂(n) мы обозначаем не только закон распределения, но и случайную величину, описываемую этим законом).

Распределение исправленной дисперсии

Для исправленной выборочной дисперсии можно доказать справедливость соотношения:

(10.12)

.

Распределение выборочного среднего ( известно)

Как уже отмечалось, , поэтому, в силу композиционной устойчивости нормального закона распределения получаем: . Далее, поскольку линейное преобразование сохраняет вид закона распределения, то . Переходя к стандартизованному распределению N (0,1), получаем:

(10.13)

.

Распределение выборочного среднего ( неизвестно)

Если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности X неизвестно, то вместо этого параметра используют его точечную оценку . Тогда получается соотношение

(10.14)

(напомним: символом St (k) обозначается как распределение Стьюдента, так и случайная величина с этим законом распределения).

Задача. Используя представление статистики

а также формулы (10.12), (10.13), убедитесь в справедливости соотношения (10.14).