Виды распределений

Рассмотрим некоторые важные для математической статистики законы распределения случайных величин.

Распределение «хи-квадрат»

Пусть случайная величина X равна сумме квадратов k независимых случайных величин :

Закон распределения величины X называют распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы и обозначают символом , т.е. . Обычно и для самой случайной величины X используется тот же символ, т.е. вместо «X» пишут «».

Перечислим важные свойства распределения «хи-квадрат».

1. Функция плотности распределения вероятностей:

	,
где	— гамма-функция.

2. Основные числовые характеристики:

, .

3. Композиционная устойчивость: если случайные величины x ²(k ₁) и x ²(k ₂) независимы, то

.

4. При распределение асимптотически нормально:

.

или, в стандартизованном виде,

5. Квантили распределения содержатся в специальных справочниках и из справочных таблиц. Напомним: квантилью порядка p распределения случайной величины X называется число t_p, для которого .

Для приближённого вычисления квантилей при больших k () используют асимптотическую нормальность распределения . Это позволяет получить следующие приближённые формулы, точность которых возрастает с увеличением k:

(10.4)	,
(10.5)	,
(10.6)	,
где	up — квантиль порядка p распределения N (0,1).