Задача 20

20.1. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстань кожної точки якої до прямої вдвічі більша відстані до точки .

20.2. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстань кожної точки якої від точки і від прямої відносяться як 5:4.

20.3. Скласти рівняння і побудувати лінію, кожна точка якої рівновіддалена від точки і від прямої .

20.4. Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої сума квадратів відстаней її від точок і дорівнює 81.

20.5. Фокуси еліпса розміщені на осі симетрично відносно початку координат, а один з них співпадає з фокусом параболи . Відстань від однієї із точок еліпса до фокусів рівна 3 і 7. Скласти рівняння еліпса. Зробити рисунок.

20.6. Скласти рівняння гіперболи і її асимптот, якщо відомо, що гіпербола симетрична відносно осей координат, один із її фокусів співпадає з центром кола , а ексцентриситет рівний 1,25. Зробити рисунок.

20.7. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстані кожної точки якої до точки і до прямої відносяться як 5:4.

20.8. Скласти рівняння кола, яке дотикається директриси параболи і має центр у фокусі цієї параболи. Зробити рисунок.

20.9. Фокуси гіперболи розміщені на осі симетрично відносно початку координат. Гіпербола проходить через точку , а її уявна піввісь рівна 6. знайти ексцентриситет гіперболи і скласти рівняння її асимптот. Зробити рисунок.

20.10. Скласти рівняння параболи і її директриси, якщо відомо, що парабола проходить через точки перетину прямої з колом і вісь є віссю симетрії параболи. Зробити рисунок.

20.11. Сума відстаней однієї із точок еліпса до його фокусів рівна 6, а довжина хорди, яка проходить через фокус і перпендикулярна більшій осі, рівна 2. знайти ексцентриситет еліпса. Зробити рисунок.

20.12. Написати рівняння траєкторії точки , яка при своєму русі залишається весь час у півтора рази далі від точки ніж від прямої . Зробити рисунок.

20.13. Через фокус параболи і через ту її точку, абсциса якої дорівнює 0,5, а ордината додатня, проведена пряма. Обчислити відстань від центра кола до цієї прямої. Зробити рисунок.

20.14. Відстань між кінцями малої і великої осей еліпса в півтора рази більша відстані між його фокусами. Знайти ексцентриситет еліпса і скласти його рівняння в системі координат, в якій фокуси еліпса розміщені на осі симетрично відносно початку координат, а еліпс проходить через точку . Зробити рисунок.

20.15. Скласти рівняння кола, яке проходить через фокуси еліпса і має центр у вершині еліпса, ордината якого є від’ємною. Знайти точки перетину цього кола з віссю . Зробити рисунок.

20.16. Точка ділить відрізок між фокусами гіперболи , який має початок в фокусі з від’ємною абсцисою, у відношенні 1:4. Скласти рівняння перпендикулярів опущених з точки на асимптоти гіперболи. Зробити рисунок.

20.17. Малу вісь еліпса видно із його фокуса під кутом , а відстань між кінцями малої і великої осей рівна 7. Знайти ексцентриситет і відстань між фокусами еліпса. Зробити рисунок.

20.18. Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої квадрат її відстані до точки більше квадрата відстані до точки на 10.

20.19. Скласти рівняння і побудувати лінію, кожна точка якої знаходиться від точки втричі далі, ніж від точки .

20.20. Скласти рівняння і побудувати лінію, кожна точка якої віддалена від прямої уп’ятеро дальше, ніж від точки .

20.21. Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої відстані до точок і відноситься як 2:3.

20.22. Скласти рівняння і побудувати лінію, для кожної точки якої сума квадратів відстаней її від точок і рівна 65.

20.23. Скласти рівняння перпендикулярів, опущених із фокусів еліпса на асимптоту гіперболи з додатнім кутовим коефіцієнтом. Зробити рисунок.

20.24. Скласти рівняння кола, діаметр якого є відрізок прямої , який відтинається гіперболою . Зробити рисунок.

20.25. Скласти рівняння лінії, кожна точки якої рівновіддалена від прямої і від початку координат. Зробити рисунок.

20.26. Скласти рівняння еліпса, симетрично розташованого відносно осей координат, якщо один з його фокусів співпадає з фокусом параболи , а відстані однієї з його точок до його фокусів дорівнюють 4 і 6. Зробити рисунок.

20.27. Скласти рівняння гіперболи з асимптотами , яка дотикається до прямої . Зробити рисунок.

20.28. Скласти рівняння траєкторії точки, яка рухається так, що її відстань від точки рівна її відстані до прямої . Зробити рисунок.

20.29. Струмінь води, що створений фонтаном, має форму параболи, параметр якої . Знайти висоту струменя, якщо відомо, що вона падає на відстані 2 м від місця виходу.

20.30. Мостова арка має форму параболи. Визначити параметр цієї параболи, знаючи, що проліт арки 24м, а висота 6м.

Задача 21. Побудувати криву, задану рівнянням в полярних координатах.

21.1. . 21.2. .

21.3. . 21.4. .

21.5. . 21.6. .

21.7. . 21.8. .

21.9. . 21.10. .

21.11. . 21.12. .

21.13. . 21.14. .

21.15. . 21.16. .

21.17. . 21.18. .

21.19. . 21.20. .

21.21. . 21.22. .

21.23. . 21.24. .

21.25. . 21.26. .

21.27. . 21.28. .

21.29. . 21.30. .

Задача 22. Скориставшись методом паралельних перерізів, встановити тип, дослідити форму заданих поверхонь та побудувати їх.

22.1. а) ; б) .

22.2. а) ; б) .

22.3. а) ; б) .

22.4. а) ; б) .

22.5. а) ; б) .

22.6. а) ; б) .

22.7. а) ; б) .

22.8. а) ; б) .

22.9. а) ; б) .

22.10. а) ; б) .

22.11. а) ; б) .

22.12. а) ; б) .

22.13. а) ; б) .

22.14. а) ; б) .

22.15. а) ; б) .

22.16. а) ; б) .

22.17. а) ; б) .

22.18. а) ; б) .

22.19. а) ; б) .

22.20. а) ; б) .

22.21. а) ; б) .

22.22. а) ; б) .

22.23. а) ; б) .

22.24. а) ; б) .

22.25. а) ; б) .

22.26. а) ; б) .

22.27. а) ; б) .

22.28. а) ; б) .

22.29. а) ; б) .

22.30. а) ; б) .

Задача 23. Скласти рівняння і вказати тип поверхні, утвореної при обертанні даної лінії навколо вказаної осі. Зробити рисунок.

23.1. а) , ; б) , .

23.2. а) , ; б) , , .

23.3. а) , ; б) , .

23.4. а) , ; б) , .

23.5. а) , ; б) , , .

23.6. а) , ; б) , .

23.7. а) , ; б) , , .

23.8. а) , ; б) , .

23.9. а) , ; б) , , .

23.10. а) , ; б) , .

23.11. а) , ; б) , , .

23.12. а) , ; б) , .

23.13. а) , ; б) , , .

23.14. а) , ; б) , .

23.15. а) , ; б) , .

23.16. а) , ; б) , , .

23.17. а) , ; б) , .

23.18. а) , ; б) , , .

23.19. а) , ; б) , .

23.20. а) , ; б) , .

23.21. а) , ; б) , , .

23.22. а) , ; б) , , .

23.23. а) , ; б) , .

23.24. а) , ; б) , , .

23.25. а) , ; б) , .

23.26. а) , ; б) , , .

23.27. а) , ; б) , .

23.28. а) , ; б) , .

23.29. а) , ; б) , , .

23.30. а) , ; б) , , .