Квантова частинка в полі -подібної потенціальної ями

Розглянемо наступну модельну задачу: маємо одновимірну прямокутну потенціальну яму з одним єдиним енергетичним рівнем (див. рис. 3.3). Необхідно визначити умову прямування ширини цієї ями до нуля, а глибини – до нескінченості, при якій енергія рівня залишається незмінною.

Рис. 3.3. Одновимірна прямокутна потенціальна яма з одним рівнем

Із результатів задачі №2 випливає, що хвильова функція частинки, яка знаходиться на єдиному енергетичному рівні, що існує у ямі, як і хвильова функція будь-якого основного стану, не може мати вузлів, тобто має бути парною (відносно середини ями). Використовуючи формули (13) задачі №2, для хвильової функції частинки всередині ями маємо:

, (1)

де

,

а зовні ями справа :

, (2)

де

.

Прирівнюючи логарифмічні похідні функцій (1) і (2) на правій границі ями (при ), одержимо:

. (3)

Спрямуємо тепер, як вимагається в умові задачі, до нескінченності і - до нуля. При цьому буде прямувати до . Але за умовою задачі має залишатися сталим, тому, як випливає з (3), має прямувати до нуля. Це дозволяє нам замінити значення тангенса значенням його аргументу, тобто

. У результаті із (3) знайдемо:

, (4)

або

. (5)

Таким чином, при прямуванні до нуля, а - до нескінченності їх добуток залишається сталим:

. (6)

Якщо переписати вираз (6) у вигляді

, (7)

то відповідь на поставлене в умові задачі питання можна сформулювати так: для того, щоб енергія рівня залишається незмінною, необхідно прямувати ширину ями до нуля, а глибину – до нескінченості так, щоб “площа перерізу” ями залишалася сталою.

Знайдемо граничні умови для функцій за межами ями. Позначимо розв’язок зліва від ями , а справа - (зазначимо, що поза ямою може існувати довільний додатковий потенціал). Розв’язок всередині ями рівний

. (8)

Гранична умова зліва від ями () має вигляд:

(9)

Розв’язавши систему рівнянь (9) відносно і , одержимо:

(10)

Гранична умова справа від ями () має вигляд:

(11)

Підставляючи в (11) знайдені раніше значення і (10), виразимо і через і :

(12)

Перейдемо тепер до границі

,

одержимо:

,

або, замінюючи згідно (4) на :

(13)

де - єдина стала, яка характеризує яму і безпосередньо зв’язана з величиною енергії рівня у ній:

.

Умову (13) можна сформулювати у вигляді потенціалу, що має вид -функції

.

Дійсно, інтегруючи рівняння Шредінґера

( - довільний, але гладкий додатковий потенціал) по малому інтервалу в околі , одержимо:

,

або

,

що співпадає з умовою (13).

Зазначимо, що потенціал, який зображає прямокутну яму, при прямуванні із забезпеченням при цьому умови (7) (рівність “площі перерізу” ями)

,

прямує до -функції з коефіцієнтом , що рівний за модулем площі прямокутника на рис. 3.3.