Понятие о теории сверхпроводимости 403

нительное взаимодействие. Это дополнительное взаимодействие может проявиться в притяжении или отталкивании электронов.

Следующая классическая аналогия может служить иллюстрацией этого эффекта. Два конькобежца на льду непрерывно перекидывают друг другу мяч. Из-за отдачи между ними возникает отталкивание. Но оно может перейти в притяжение, если мяч заменить бумерангом. Для этого конькобежцы должны встать спиной друг к другу и каждый из них должен бросать бумеранг в сторону, противоположную своему партнеру. Поведение бумеранга, конечно, определяется воздушной средой, в которой он летит. В случае фонона роль такой среды играет кристаллическая решетка.

4. В теории металлов, развитой Блохом (см. § 59), состояние электронов характеризуется одночастичными волновыми функциями. Это означает, что электроны рассматриваются

независимыми. Явление сверхпроводимости не укладывается в эту схему.

Благодаря электрон-фононному взаимодействию между электронами существуют корреляции, которые должны быть учтены.

В теории БКШ учитываются только парные корреляции, что оказалось достаточным по крайней мере для качественного понимания основных свойств сверхпроводников. Силы электрон- фононного притяжения между парой скоррелированных электронов должны превышать силы кулоновского отталкивания, чтобы в целом между электронами действовало притяжение.

Принято говорить, что такие спаренные электроны образуют куперовскую пару (в честь Купера, предсказавшего явление спаривания в 1956 г.). Куперовские пары являются бозонами — на них запрет Паули не распространяется. Поэтому-то они и могут совершать сверхтекучее движение.

Для выяснения свойств куперовских пар допустим сначала, что металл находится при температуре абсолютного нуля. Кроме того, допустим, что через металл не течет электрический ток.

Так как электроны подчиняются принципу Паули, то в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Поэтому будут заполнены все состояния ниже некоторой определенной энергии &F, называемой энергией Ферми, а все состояния с большей энергией будут полностью свободны. Энергия <% есть функция импульса: <§Г —<?Г(р). В частности, уравнение gF = &(p) определяет в пространстве импульсов некоторую поверхность, называемую поверхностью Ферми. Для простоты будем считать металл изотропным. Тогда поверхность Ферми вырождается в сферу &F = p2/2m, радиус которой мы обозначим через pF. Когда температура металла повышается, но остается ниже Тк, электроны начинают выходить за пределы сферы Ферми, заполняя частично энергетически более высокие квантовые состояния. В результате по обе стороны сферы Ферми образуется тонкий слой, ограниченный сферами с радиусами

Pf — Ар/2 и Pf -\- Ар/2, заполненный электронами не полностью,

а только частично. Энергии электронов на границах этого слоя вблизи критической температуры Тк отличаются друг от друга на величину порядка kTK. Легко вычислить, что эта величина примерно в 104— 105 раз меньше средней кинетической энергии,

приходящейся на один валентный электрон в металле при фермиевском распределении (см. т. III,§ 99).

Допустим теперь, что два электрона, образующие куперовскую пару, с импульсами р\ и р2 сталкиваются между собой и переходят в состояние с импульсами р\ и р'2. Ясно, что перед

столкновением состояния с импульсами р[ и р'2 должны быть вакантными, т. е. находиться в пределах указанного выше тонкого сферического слоя. То же самое относится к исходным векторам р) и р2- В противном случае после столкновения состояние с импульсами р\ и р2 оказалось бы незаполненным, а это было

бы невозможно, если бы это состояние лежало в импульсном пространстве, ограниченном внутренней сферой слоя. В силу закона сохранения импульса р, -f- р2 = р\ -f- р, = & = const, где & — результирующий импульс обоих электронов, не меняющийся при столкновении. Процесс столкновения изображен на рис. 118. Конец вектора р\ и начало вектора р2 должны лежать в верхнем заштрихованном четырехугольнике, получающемся в результате пересече-

Рис j]8

ния двух сферических слоев со средними радиусами р\ и р2.

Аналогично, в нижнем заштрихованном четырехугольнике должны лежать конец вектора р\ и начало вектора р'2. Ясно, что столкновения будут происходить тем чаще, чем короче

вектор &. Практически будут происходить только такие столкновения, когда оба сферических слоя совпадают, т. е. когда ^ = 0.

Это значит, что должно быть р, = — Р2> р[ = — Рг- Таким образом, в отсутствие тока импульсы электронов, образующих ровскую пару, равны по величине и противоположны по направлению.

Как уже было сказано выше, при температурах порядка Тк энергия электронов в сферическом слое отличается от энергии Ферми на величину порядка kTK, так что

ЬТ -A An

где Ар = р ~ pF. Таким образом, неопределенность в положении

электронов Д.г «ft/Ар ~ tipF/mkTK. По порядку величины (при § 62] ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 405

Т ~ 10 К) неопределенность Ах обычно составляет 10~4 см. Величина Ах характеризует размеры области, в которой локализованы электроны, образующие куперовскую пару, т. е.

«пространственные размеры» этой пары. Они, как видим, примерно в 10 000 раз превосходят среднее расстояние между электронами проводимости в металле (порядка 10~8 см). Значит, между электронами, связанными в пару, находится очень много других

электронов. На этом основании говорят, что состояния электронов в куперовской паре слабо коррелированы по координатам обычного пространства. Сама эта корреляция на расстояниях такого порядка не может быть понята с классической точки зрения и является сугубо квантовым свойством. Напротив, по импульсам корреляция сильная, поскольку р\ = — рг.

5. Существование спаривания электронов в сверхпроводнике (при Т < Тк) было доказано прямыми опытами по квантованию магнитного потока. Рассмотрим сверхпроводящее кольцо, по которому циркулирует сверхпроводящий ток. Пусть электроны движутся по окружности радиуса г со скоростью у. Энергия тока представляется выражением

<? = A/2с) /Ф, где / —

сила тока, а Ф — магнитный поток через рассматриваемую окружность, создаваемый этим током. Если N — полное число электронов в кольце, а Т—период обращения, то

I = Ne/T =

= Nev/2nr.

Таким образом,

<S = Nev(D/4nrc.

С другой стороны,

та же энергия равна

& = Nmv2/2.

Приравнивая оба выражения, получим Ф = 2nrcmv/e. Если электроны движутся куперовскими парами, то импульс каждой такой пары равен p = 2mv, так что

ф = лгср/е. Но импульс куперовской пары может принимать только квантованные значения согласно соотношению

рг =

= п% = nh/2n,

где п — целое число. Следовательно, Эта формула выражает квантование магнитного потока в сверхпроводниках, причем квант магнитного потока определяет-

определяется выражением

Фо = hc/2e = 2,07 • 10 Гс • см2. F2.2)

Формула такого вида была получена в 1950 г. Ф. Лондоном A900—1954) еще до создания теории сверхпроводимости. Однако Лондон получил для Фо вдвое большее значение по

сравнению с тем, что дает формула F2.2). Это объясняется тем, что в 1950 г. явление спаривания электронов еще не было известно.

Поэтому для импульса Лондон пользовался выражением р = mv, а не выражением р = 2mv, как делали мы. Опыт показал правильность формул F2.1) и F2.2) и тем самым подтвердил существование явления спаривания электронов. В одном из гаких

опытов сверхпроводящий ток возбуждался в оловянной трубоч-

трубочке с длиной 1 см и внутренним диаметром 2R = 1,5-10-3 см. 406 Благодаря малости диаметра при возбуждении всего одного кванта магнитного потока <t>0 — nR2H получается уже макроскопически измеримое магнитное поле Я = 0,117 Гс, которое

слабее магнитного поля Земли примерно всего в 5 раз. Таким образом, квантование магнитного потока в подобных опытах проявляется уже в макроскопических масштабах.

В связи с изложенным отметим следующее обстоятельство.

Известно, что в сверхпроводящем кольце можно возбудить незатухающий электрический ток. Например, один из опытов такого рода длился 2,5 года, и все же никакого затухания тока обнаружено не было. На первый взгляд в этом нет ничего удивительного, поскольку в сверхпроводнике не выделяется джоулево тепло, а потому и нет затухания. На самом деле вопрос сложнее. Электроны в сверхпроводящем кольце движутся ускоренно и должны излучать, а это должно привести к затуханию тока. Опыт же показывает, что затухания нет. Противоречие устраняется совершенно так же, как и соответствующее

противоречие с излучением в классической теории атома. Чтобы не было излучения, Бор ввел квантовый постулат о стационарных состояниях атома. Так, и в сверхпроводящем кольце с током излучение не появляется из-за квантования электрического тока.

Но это квантование наблюдается уже в макроскопическом масштабе.

6. Электроны в куперовской паре обладают одинаковыми по величине, но противоположными по направлению импульсами.

Их спины в принципе могут быть параллельны или антипараллельны. В обоих случаях полный спин куперовской пары получается целым, так что куперовская пара будет бозоном, а не фермионом. Более того, спин куперовской пары будет равен

нулю, так как состояние с параллельными спинами электронов

неустойчиво. Устойчивым является состояние с антипараллельными спинами электронов, которое и реализуется в действительности. Таким образом, куперовские пары являются бозонами, а не фермионами. На них запрет Паули не распространяется.

Этим устраняется трудность, о которой говорилось в самом начале этого параграфа. Куперовские пары образуют «жидкость», которая может совершать сверхтекучее движение между ионами кристаллической решетки. Это и есть сверхпроводимость. Оста-

Остановимся на этом вопросе несколько подробнее.

При Т = 0 все куперовские пары находятся в основном состоянии с нулевыми импульсами. При Т <С Тк в основном состоянии будет находиться большинство куперовских пар. Они образуют связанный коллектив и, как бозе-частицы, все находятся

в одном и том же квантовом состоянии. Если разорвать куперовскую пару и удалить из этого коллектива образовавшийся электрон, то возникнет возбужденное состояние, энергия которого выше энергии исходного состояния коллектива. Существенно, что эти два состояния отделены одно от другого энергетической щелью конечной ширины, в которой нет квантовых состояний системы. Хотя ширина щели и очень мала (при 7 = 0

всего порядка 1(Ь3—10~4 эВ), она приводит к качественному изменению поведения всей системы электронов. В самом деле, из-за взаимодействия куперовских пар с колебаниями решетки хотя и происходят разрывы этих пар, но при Т < Тк образовавшиеся электроны не могут преодолеть энергетическую щель, так как их энергии недостаточно для этого. Освободившийся электрон «ищет» себе партнера среди других освободившихся электронов, чтобы образовать с ним новую куперовскую пару с нулевыми импульсом и спином. Но такой процесс «смены партнеров» ввиду тождественности электронов не приводит к новому

состоянию, т. е. к разрушению коллектива. При Т < 7К коллек-

коллектив ведет себя и движется как целое.. Если же Т > Тк, то элек-

электроны, образующиеся при разрыве куперовских пар, преодоле-

преодолевают энергетическую щель и выбывают из коллектива, что при-

приводит к разрушению последнего.

Наличие в энергетическом спектре сверхпроводящего состоя-

состояния щели конечной ширины и объясняет исчезновение сопро-

сопротивления электрическому току. В отсутствие электрического

тока импульсы всех куперовских пар равны нулю: импульс од-

одного электрона равен +Р. а другого —р. При наложении элек-

электрического поля Е оба электрона пары получают один и тот же

дополнительный импульс р'. Их полные импульсы становятся

равными соответственно р + р' и —р-\-р', а импульс всей пары

2р'. Связанный коллектив куперовских пар начинает двигаться

как целое с определенной скоростью, соответствующей этому

значению импульса, в результате чего возникает электрический

ток. Пока последний недостаточно силен, связанный коллектив

куперовских пар не разрушается, из-за наличия энергетической

щели, а потому ток не встречает сопротивления. Возникает то-

токовое состояние коллектива куперовских пар, причем к моменту

установления постоянного тока поле Е в сверхпроводнике обра-

обращается в нуль. В движущемся коллективе куперовских пар, по-

понятно, продолжают происходить процессы электрон-фононного

взаимодействия, обеспечивающие устойчивость токового состоя-

состояния коллектива куперовских пар. При токах достаточно большой

силы коллектив распадается и сверхпроводимость исчезает.

При температуре абсолютного нуля все электроны сверхпро-

сверхпроводника связаны в куперовские пары. При повышении темпе-

температуры число куперовских пар уменьшается. Это связано с

двумя обстоятельствами. Во-первых, с повышением температуры

увеличивается вероятность отрыва электрона от куперовской

пары и перескока его через щель. Во-вторых, уменьшается число

процессов образования пар из-за уменьшения актов обмена

фононами между электронами, приводящими к притяжению 408 МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. VII

между ними. В результате энергетическая щель становится уже,

что еще более ускоряет процесс уменьшения числа куперовских

пар. При Т — Тк ширина щели, а с ней и число куперовских пар

сокращаются до нуля. Связанный коллектив таких пар распа-

распадается. Вместе с ним исчезает и сверхпроводимость — при

Т > Тк металл становится нормальным проводником.

7. Родственность явлений сверхпроводимости и сверхтеку-

сверхтекучести проявляется и в предсказании сверхтекучести 'гНе. По-

Поскольку атомы этого изотопа имеют полуцелый спин, сначала

предполагали, что?Не не обладает сверхтекучестью. Лишь

после создания теории сверхпроводимости обратили внимание

на возможность объединения атомов гНе в пары, аналогичные

куперовским. Такие пары, обладая целым спином, являются бо-

бозонами, на основании чего была предсказана сверхтекучесть

жидкого гНе, которая и была обнаружена экспериментально

(см. § 61).

8. Теория объясняет и эффект Мейсснера — Оксенфельда

(см. т. III, § 80). Как известно, этот эффект состоит в том, что

магнитное поле не проникает внутрь массивного сверхпровод-

сверхпроводника или вытесняется из последнего. Наиболее просто дать объ-

объяснение для сверхпроводника цилиндрической формы, предпола-

предполагая его достаточно длинным, чтобы исключить влияние краевых

эффектов. Если магнитное поле параллельно оси цилиндра, то

достаточно принять во внимание, что сверхпроводящий ток не

встречает сопротивления, даже если он течет по поверхности

тела (точнее, вдоль тонкого поверхностного слоя его). Кроме

того, надо учесть, что из всех мыслимых состояний сверхпро-

сверхпроводника в действительности реализуется состояние наименьшей

энергии.

Предположим, что Т < Тк. Пусть сверхпроводник помещен

в постоянное однородное магнитное поле Н. Логически допу-

допустимо, что это поле проникнет в сверхпроводник, заполняя весь

объем его и оставаясь однородным. В силу граничных условий

напряженности магнитного поля Н внутри и вне цилиндра

должны быть одинаковыми. Магнитная энергия системы будет

равна

где &в — магнитная энергия, локализованная вне, a &i =

= (\/8n)\iVH2— внутри цилиндра (V — объем цилиндра, \i — маг-

магнитная проницаемость сверхпроводника). Допустим теперь, что

по поверхности цилиндра циркулируют круговые токи, создаю-

создающие внутри цилиндра однородное поле Я,. Поле, создаваемое

ими вне цилиндра, как известно, равно нулю. Поэтому для маг-

магнитной энергии можно написать:

** = *• + ~ш v {Н + я'J> «62]

ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

причем энергия $е, локализованная во внешнем пространстве,

будет такой же, что и в предыдущем случае. Энергия ёг обра

щается в минимум с?2мин =<?'«, когда Н -f- Ht = 0. Состояние

с такой минимальной энергией и должно реализоваться в дей-

действительности, а не состояние с энергией &\, так как нет ника-

никаких препятствий для тока перераспределяться по объему сверх-

сверхпроводника. Таким образом, при внесении цилиндра в однород-

однородное магнитное поле появляются сверхпроводящие круговые

поверхностные токи, уничтожающие магнитное поле в объ-

объеме цилиндра. Это и есть эффект Мейсснера — Оксенфельда.

Очевидно, он имеет место только при Т •< Тк, так как в про-

противном случае сверхпроводящий поверхностный ток невоз-

невозможен.

9. В приведенном доказательстве не учтена поверхностная

энергия, существующая на границе раздела сверхпроводящей

фазы с нормальной. Она определяется конечной глубиной про-

проникновения магнитного поля из нормальной в сверхпроводящую

фазу, притяжением между электронами куперовских пар, нали-

наличием энергетической щели между сверхпроводящей и нормаль-

нормальной фазами и пр. Эта энергия может быть как положительной,

так и отрицательной. На это обстоятельство в 1957 г. обратил

внимание А. А. Абрикосов (р. 1928), который ввел деление

сверхпроводников на сверхпроводники первого и второго рода:

Для первых поверхностная энергия положительна, для вторых

отрицательна. К сверхпроводникам первого рода относится боль-

большинство чистых металлов, а второго рода — подавляющее чис-

число сплавов, а также многие чистые металлы с примесями.

В сверхпроводниках первого рода наблюдается эффект Мейсс-

Мейсснера — Оксенфельда, в сверхпроводниках второго рода — не

всегда. Сверхпроводник второго ро-

рода может находиться в сверхпро-

сверхпроводящем и смешанном состояниях.

В сверхпроводящем состоянии име-

ет место эффект Мейсснера — Ок-

Оксенфельда, в смешанном — нет.

На рис. 119 кривая H = HKi(T)

определяет напряженность критиче-

критического поля, при которой находятся

в равновесии сверхпроводящая и

смешанная фазы. Аналогично, кри-

кривая Н = Нк2(Т) соответствует рав-

равновесию между сверхпроводящей и

нормальной фазами. Область тем-

температур и магнитных полей, при ко-

которых металл находится в сверхпро-

сверхпроводящем состоянии, обозначена двойной штриховкой, область

смешанного состояния — простой штриховкой, а область

Нормальное

состояние

О

Рис. 119

410 МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. VII

нормального состояния не заштрихована. Для сверхпроводни-

сверхпроводников первого рода смешанного состояния не существует.

Понятно, что в сверхпроводнике должно реализоваться со-

состояние минимума полной энергии, включающей поверхностную.

По этой причине и возникает смешанное состояние. В сверхпро-

сверхпроводник в смешанном состоянии внешнее магнитное поле прони-

проникает через нити конечного поперечного сечения. Конечное сече-

сечение получается потому, что из области, занятой магнитным по-

полем, происходит его проникновение в окружающее простран-

пространство, находящееся в сверхпроводящем состоянии, причем этот

процесс характеризуется конечной глубиной проникновения. Тело

пронизано нитями, через которые проходят магнитные потоки, а

сами нити отделены одна от другой промежутками, сохраняю-

сохраняющими сверхпроводимость, если только расстояние между сосед-

соседними нитями превышает примерно удвоенную глубину проник-

проникновения магнитного поля в сверхпроводник.

Существенно, что магнитный поток через поперечное сече-

сечение нити квантуется. Энергетически выгодно, чтобы через каж-

каждую нить проходил один квант магнитного потока. Действитель-

Действительно, рассмотрим две нити радиуса г, через каждую из которых

проходит один квант магнитного потока. Суммарный магнитный

поток через обе нити равен 2лг2Н. Пусть обе нити сливаются

в одну радиуса R. Тогда тот же магнитный поток будет nR2H.

Сравнивая оба выражения, находим /? = гл/2- Поэтому длина

окружности поперечного сечения нити, образовавшейся в резуль-

результате слияния, будет 2nR = 2пг л/2, тогда как сумма длин ок-

окружностей поперечных сечений первоначальных двух нитей

больше, так как она равна 2лг-2. Таким образом, слияние двух

нитей уменьшает боковую поверхность, по которой нити грани-

граничат с окружающим пространством. Это ведет к энергетически

невыгодному увеличению поверхностной энергии, поскольку она

отрицательна. Итак, через тело проходит магнитное поле, но

оно сохраняет сверхпроводимость благодаря наличию сверхпро-

сверхпроводящих промежутков между нитями. При усилении магнитного

поля число нитей в теле увеличивается, а сверхпроводящие про-

промежутки между ними сокращаются. В конце концов магнитное

поле начинает пронизывать все тело, и сверхпроводимость исче-

исчезает.

Сверхпроводящие сплавы благодаря высоким значениям кри-

критических магнитных полей Нк2 нашли широкое применение при

изготовлении обмоток соленоидов, предназначенных для получе-

получения сверхсильных магнитных полей A00 000 Гс и больше).

₁

E

0

E₃

E₂

E