Заряженная частица в кулоновском поле

Перейдем к задаче о движении заряженной частицы в кулоновском потенциале (рис. 5.5). Для нас это одна из самых интересных задач, поскольку она описывает состояния электрона в атоме.

Мы уже не раз обсуждали вопрос о том, как найти основное состояние квантовой системы — надо минимизировать, с учетом соотношения неопределенностей, полную энергию. Для электрона, находящегося в кулоновском поле ядра с зарядом Ze, полная энергия определяется выражением

(5.37)

Дифференцирование этого выражения по r приводит к следующему условию для минимального значения энергии:

(5.38)

или

(5.39)

Мы получили значение боровского радиуса для элек-

рис. 5.5

трона в поле ядра с зарядом Ze. Такой атом называется водородоподобным. Энергию основного состояния можно найти, подставляя

(5.39) в (5.37):

(5.40)

Аналогичным образом могут быть найдены возбужденные состояния. Волновые функции высших квантовых состояний, согласно осцилляционной теореме, имеют п узлов. Поэтому характерная длина волны А такого состояния будет равна 2тгг/п, что приводит к увеличению кинетической энергии этих состояний. Действительно, электрон локализован в пространстве в области размером порядка А, и поэтому его импульс, согласно соотношению неопределенностей, может быть оценен как

p~h/λ = nћ/r, (5.41)

а кинетическая энергия

Т = р²/(2m) ~ n²ћ²/(2mr²). (5.42)

Если провести минимизацию полной энергии, как это делалось выше, то мы

получим для состояния с квантовым числом п

(5.43)

что соответствует радиусу его боровской орбиты, а для энергии этого состояния:

Фактически, дискретные значения энергии электрона в атоме следуют из

условия, что на длине орбиты, по которой движется электрон, должно укладываться целое число волн. Если радиус орбиты r, то n - му состоянию электрона соответствует условие

2πr = nλ (n = 1, 2, 3,...)

или

mv_n = nh/(2πr). (5.45)

Мы предположили, что радиус орбиты r имеет фиксированное значение.

Согласно квантовой механике радиусы орбит «разбросаны» в окрестности

классически устойчивой орбиты. В качестве оценки взято значение r, которое соответствует минимуму энергии Е(r). В действительности электрон может находиться с разной вероятностью на любом расстоянии от ядра.

Наше упрощение состоит в предположении, что это определенное, равное r расстояние находится из условия минимальности полной энергии. Поэтому нельзя доверять числовому множителю впереди полученной формулы, хотя он случайно и оказался правильным. Однако всему остальному, а главное, зависимости от квантового числа n, доверять можно.

Отметим также, что в формулу (5.44) для уровней энергии атома водорода, строго говоря, входит не масса электрона, а приведенная масса системы протон-электрон. Поэтому спектры энергии, например, обычного водорода и его тяжелого изотопа — дейтерия — несколько отличаются друг от друга (так называемый изотопический сдвиг). Существование данного эффекта экспериментально наблюдается не только для водорода, что вполне понятно, поскольку полученное решение справедливо для любой «водородоподобной» системы — системы из двух частиц с противоположными зарядами,

связанных лишь электростатическими силами. Это — однократно ионизованный гелий, двукратно ионизованный литий, Ве⁺⁺⁺ и т. д. Сюда же относятся позитроний — система е+е^-, мюонные и пионные атомы (или, как их еще называют, мезоатомы), т. е. атомы, в которых один из электронов замещен на отрицательный мюон μ^- или пион π^- (их массы составляют соответственно ~ 207m_е и ~ 274 m_е). В этих и других такого рода доподобных системах эффект изотопического сдвига сказывается особенно заметно.

Почти водородоподобные спектры наблюдаются у щелочных металлов, в которых один слабосвязанный с атомом наружный электрон движется в поле ядра и (Z - 1) электронов, образующих замкнутую оболочку благородных газов. Различие заключается в том, что если в атоме водорода электростатическое поле является полем точечного заряда, то в щелочных металлах это не так. Формула для энергии n-го уровня имеет вид

где σ_l — поправка на неточечность, зависящая от орбитального движения

электрона (от типа симметрии его движения), a Z_эф — эффективный заряд ядра, учитывающий экранирующее действие электронов замкнутой оболочки.

Одно замечание: при решении мы считали, что ψ-функция — это функция

только расстояния частицы от кулоновского центра, а не угловых переменных, т. е. искали сферически симметричные решения. Позже мы выясним, чему соответствуют решения, не обладающие сферической симметрией. Сейчас лишь отметим, что решение полной задачи не приводит к появлению новых уровней энергии.