Частица в ящике с непроницаемыми стенками

Рассмотрим в рамках квантовой механики движение частицы, заклю­ченной в некотором ограниченном объеме V. Пусть этот объем имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 20.11). Построим прямо­угольную декартову систему координат так, чтобы плоскости, ограничи­вающие движение частицы, имели уравнения: х = 0, х = а, у = 0, у = b, z = 0 и z= с, где а, b и с - длины ребер параллелепипеда.

Если частица испытывает воздействие только со стороны стенок "ящи­ка" при ударах о них, а внутри него движется свободно, то зависимость

Ее потенциальной энергии от координат можно описать формулой

0 при

∞ при

где V - область пространства внутри ящика.

Рис.20.11. Частица в ящике с непроницаемыми стенками

По условиям задачи волновая функция вне ящика всюду равна нулю. Функцию , которая описывает стационарное движение частицы внутри ящика, где U= 0, найдем из уравнения Шредингера (4.43)

Так как волновая функция должна быть непрерывной по определению, на стенках ящика она должна быть равна нулю:

Имея в виду, что стационарные состояния частицы в одномерной потенциальной яме описываются функцией (20.50), предположим, что
стационарные состояния частицы в прямоугольном ящике описываются
функцией

φ (x,y,z) = A sin k ₁ x sin k ₂ y sin k ₃ z, (20.61)

где

_(20б2)

n _1, n _2, n ₃ = 1, 2, 3,…

Заметим, что совокупность чисел n _1, n _2, n ₃ можно рассматривать как трехзначный номер волновой функции:

В самом деле, нетрудно видеть, что функция (20.61) удовлетворяет гра­ничным условиям (20.60). Подстановка этой функции в стационарное уравнение Шредингера (20.59) убеждает в том, что она является его ре­шением, если энергия частицы Е связана с квантовыми числами n _1, n _2, n ₃ формулой

Величины k ₁, k ₂ и k ₃ можно рассматривать как проекции на оси коор­динат волнового вектора

(20.64)

При этом энергию частицы можно представить формулой

где к - модуль волнового вектора к.

Постоянную А в формуле (20.61) нетрудно найти из условия норми­ровки (19.28) волновой функции:

где V = abc - объем параллелепипеда.

Итак, доказано, что возможные стационарные состояния частицы в ящике, описываемые функциями

образуют счетное мно­жество; а соответствующие этим состояниям значения энергии частицы составляют дискретный спектр.