Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Квантовый осциллятор. В классической механике, как известно, линейная гармоническая колебательная система (осциллятор) образуется при наличии инерциального элемента (груза массой
В классической механике, как известно, линейная гармоническая колебательная система (осциллятор) образуется при наличии инерциального элемента (груза массой m) и «возвращающей» силы, пропорциональной смещению груза от положения равновесия. В кристаллической решетке роль инерциальных элементов играют ионы, а «возвращающая» сила возникает при отклонении иона от положения равновесия вследствие локального нарушения электронейтральности и электростатического взаимодействия. В простейшем случае для линейной «возвращающей» силы зависимость электрической потенциальной энергии иона от смещения будет квадратичной (по аналогии с классическим осциллятором, например, пружинным маятником) и может быть записана (для одномерного движения) в виде: , (6.1) где ω0 – собственная частота осциллятора. В этом случае для квантового осциллятора (иона в кристаллической решетке) можно получить аналитическое решение в специальных функциях. Уравнение Шредингера (6.2) можно переписать в виде . (6.3) Для решения этого уравнения введем безразмерные величины , , (6.4) и после элементарных преобразований уравнение (8.3) приводится к виду (6.5) Требуется найти конечные, непрерывные и однозначные решения этого уравнения в интервале – ∞< x < + ∞. Такие решения уравнение (6.5) имеет не при всех значениях параметра ε, а лишь при (6.6) причем соответствующие функции ψn равны (6.7) где Нп(x) есть полином Чебышева — Эрмита n -го порядка, определяемый формулой (6.8) при этом множитель обеспечивает нормировку на 1: (6.9) Таким образом, одного требования непрерывности и конечности ψ оказывается достаточно, чтобы параметр ε получал лишь дискретные значения (6.6). Но согласно (6.4) этот параметр определяет энергию. Сравнивая (6.4) и (6.6), находим, что возможные значения Еп суть . (6.10) Эта формула показывает, что энергия осциллятора Е может иметь лишь дискретные значения. Число п, определяющее номер квантового уровня, называют главным квантовым числом. Квант колебаний иона называется фононом. Формула (6.10) показывает, что в наинизшем состоянии (n =0), соответствующем температуре абсолютного нуля, движение не исчезает и ионы кристаллической решетки совершают так называемые «нулевые» колебания, которые упрощенно можно характеризовать частотой w0 /2, имея в виду, что согласно принципу неопределенности, связывающему неопределенности энергии и периода колебаний (3.2), регулярный колебательный процесс ионов невозможен. При увеличении температуры кристаллической решетки занимаются состояния с n >1 и возникает распределение фононов по энергиям. Решение уравнения Шредингера (6.3) в окончательном виде есть , (6.11) где Нn (х) – полиномы Эрмита. Выпишем несколько первых полиномов: (6.12) Таким образом, волновая функция основного состояния (n =0) симметрична и не имеет нулей. В этом состоянии ионы совершают колебания с энергией , (6.13) а поскольку неопределенность энергии (6.13) мала, то период колебаний имеет большую неопределенность, так что говорить о регулярных колебаниях нельзя. В этом случае говорят о флуктуационных колебаниях. На основании (6.11) и (6.12) волновые функции при четных n – четные, а при нечетных n – нечетные. Графики трех первых волновых функций показаны на рис. 6.1. Рис. 6.1. Волновые функции квантового осциллятора
На рис. 6.2 приведена потенциальная функция гармонического осциллятора и дискретный набор значений энергии (уровни энергии). По оси ординат отложена потенциальная энергия, а по оси абсцисс отклонение х. На этом же рисунке горизонтальными линиями изображены уровни энергии Еп (6.10) для разных п.
Рис. 6.2. Потенциальная энергия и энергетические уровни квантового осциллятора
Рассмотрим, например, уровень Е1. Согласно классической механике частица, имеющая энергию Е1 могла бы быть обнаружена лишь в области АВ. В самом деле, А и В только точки, где потенциальная энергия равна полной. В этих точках кинетическая энергия Т равна нулю. Точки А и В называются точками поворота. А квантовая частица с отличной от нуля вероятностью может находиться вне пределов области АБ, что видно из графика волновой функции y1 (рис. 6.1).
|