Сферическая функция

Функция является собственнойфункцией и

, (4.14)

, (4.15)

где – магнитное квантовое число, определяет проекцию L на ось z

;

– орбитальное квантовое число, определяет модуль L

. (4.16)

Состояния обозначаются s, p, d, f

(от англ. sharp – резкий, principal – главный, diffuse – расплывчатый, fundamental – фундаментальный).

Число проекций L на ось z равно числу возможных значений m

.

Направление L квантуется

. (4.17)

Пространственное квантование при l = 3

Вектор L не может быть направлен вдоль оси z, поскольку максимальная проекция меньше модуля , тогда согласно (4.17) и . Физическая причина в том, что определенность приводит к неопределенностям некоммутирующих с ним и , которые дают вклад в , поэтому .

Из (4.12)

и (4.15)

получаем

.

Следовательно, операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , т. е. повышает у состояния число m на единицу, а понижает на единицу.

Выполняется

, (4.18)

Выражение для сферической функции. Подстановка (4.6)

в (4.15)

дает уравнение

. (4.19а)

Решение должно удовлетворять условию периодичности

. (4.19б)

Из (4.19а) и (4.19.б) получаем

, (4.21)

Условие периодичности (4.19б) привело к квантованию числа m. Ограничения сверху на m пока нет. На основании

выполняется условие ортонормированности

. (4.22)

Выражение (4.7)

подставляем в (4.14)

,

получаем дифференциальное уравнение

.

Переменные разделяются, тогда ищем решение в виде

.

Подстановка решения в уравнение и использование (4.21) приводит к уравнению для

. (4.20)

Уравнение совпадает с уравнением для присоединенных функций Лежандра , тогда ,

.

Постоянный множитель определяется из условия нормировки

, .

В результате

. (4.23)

Выполняются

, (4.24)

,

,

. (4.25)

Условие ортонормированности

. (4.26)

Инверсия координат соответствует замене

, ,

тогда

. (4.27)

Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.