Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Заряд в магнитном поле. Магнитное поле наряду с электрическим полем широко используется для изменения и контроля состояния электрона
Магнитное поле наряду с электрическим полем широко используется для изменения и контроля состояния электрона. Магнитное поле влияет на фазу волновой функции заряда и на длину волны де Бройля. Это используется для измерения эффективной массы и магнитного момента носителя тока в кристалле, для определения поверхности Ферми и концентрации электронного газа. Длина волны де Бройля
определяется в магнитном поле не кинетическим импульсом частицы , а полным импульсом. Полный импульс P учитывает влияние магнитного поля на волновую функцию заряда. Пусть магнитное поле создано электрическим полем благодаря явлению электромагнитной индукции, описываемому уравнением Максвелла ,
где А – векторный потенциал; индукция магнитного поля
. Тогда получаем . Учитываем ,
где f – произвольная скалярная функция, тогда
.
Векторный потенциал в классической электродинамике не измерим, его выбор не однозначен. Используем калибровку
, получаем , в результате .
Векторный потенциал создает вихревое (а не кулоновское, потенциальное) электрическое поле, которое называется полем Фарадея. Электрическое поле изменяет кинетический импульс заряда q согласно второму закону Ньютона
.
Интегрируем в пределах от 0 до t и получаем
. Для поля Фарадея находим изменение импульса за время t
. (1.19)
Определяем полный импульс заряда q
, (1.20)
складывающийся из кинетического импульса частицы
и импульса магнитного поля, связанного с зарядом q:
.
Согласно (1.19), при изменении векторного потенциала сохраняется полный импульс .
Ему сопоставляем оператор неизменной формы
. (1.20а) Оператор имеет собственную функцию с фазой и с волновым числом . В результате фаза волновой функции и длина волны де Бройля в магнитном поле определяются полным импульсом. Получим следствия в рамках полуклассической квантовой механики. Квазиклассическое квантование в магнитном поле. В формуле квантования Бора–Зоммерфельда импульс заменяем полным импульсом
,
, (1.21)
Условие максимума интерференции в магнитном поле получил Вальтер Франц в 1939 г. Рассмотрим следствия (1.21) для заряда, движущегося в однородном магнитном поле. Заряд в магнитном поле В, направленном по оси z. На заряд q, движущийся со скоростью V В, действует сила Лоренца
,
направленная по правилу левой руки, перпендикулярная магнитному полю и скорости. Поэтому сила является центростремительной
.
Выражаем радиус траектории . (1.23)
Угловая скорость вращения, или циклотронная частота:
(1.24)
не зависит от скорости заряда. Для поля В находим векторный потенциал, используя
. В цилиндрических координатах
,
,
. Для рассматриваемого поля
, , , тогда , , .
Вектор А направлен по касательной к траектории заряда и связан с вектором В правилом правого винта.
Полный импульс
для траектории с номером и радиусом
. Из рисунка находим ,
. Подстановка в (1.21)
, , дает . (1.25)
Квантование импульса и кинетической энергии. В (1.25) подставляем (1.23) и получаем , (1.26а)
. (1.26б)
Квантование проекции момента импульса без магнитного поля
, ,
заменяется в магнитном поле на квантование проекциимомента полного импульса. Используем , и (1.25) получаем , (1.27) тогда .
Номер траектории определяется модулем магнитного числа. Квантование радиуса траектории. Из (1.23) выражаем
, подставляем в (1.26а) , получаем , (1.29) где магнитная длина (1.30) Для электрона .
Для магнитного поля у земли
, .
Квантование магнитного потока. Используя (1.29), находим магнитный поток через площадь, ограниченную траекторией:
, (1.31) где квант магнитного потока . (1.32)
Согласно (1.31) квантовое число n равно числу квантов магнитного потока, приходящихся на площадь, ограниченную траекторией заряда. В сверхпроводнике заряд спаренных электронов , тогда квант магнитного потока в сверхпроводнике
. (1.33) Ф0 приблизительно равен потоку 1/100 магнитного поля земли через площадку диаметром 0,1 мм. Квантование магнитного потока обосновали В.А. Фок и П. Иордан в 1930 г., Ф. Лондон в 1948 г. Экспериментально явление обнаружили в сверхпроводнике Б. Дивер и В. Фейрбэнк в 1961 г. Кольцо из олова толщиной 0,3 10 мкм гальванически осаждалось на кварцевой нити диаметром 13 мкм. При температуре выше сверхпроводящего перехода олова, равного 3,8 К, кольцо помещали в магнитное поле, направленное вдоль оси кольца. Температуру снижали, олово переходило в сверхпроводящее состояние и выталкивало поле из своего объема, создавая поверхностный кольцевой ток и магнитный поток через отверстие кольца. Результат измерений , где , соответствовал максимуму интерференции для фазы . (1.34)
волновой функции куперовской пары с зарядом , проходящей по кольцу. Квантование сопротивления. Рассмотрим контур, плоскость которого перпендикулярна магнитному полю. К концам контура приложено напряжение U, по цепи идет ток I. Используем баланс энергии. При переносе заряда q источник напряжения совершает работу . При увеличении магнитного потока на , возникает явление электромагнитной индукции и для поддержания тока источник совершает дополнительную работу . Из закона сохранения энергии
.
В цепи возникает индуктивное сопротивление
. (1.35)
Если ток переносится в сверхпроводнике куперовскими парами электронов , то кванту магнитного потока
соответствует квант сопротивления
. (1.36) Кванту потока
соответствует холловское сопротивление
. (1.36а)
Квантование сопротивления баллистического проводника, в котором электроны движутся без рассеяния:
,
где – число активизированных поперечных мод движения, которые дают вклады в продольный ток, обосновал Рольф Ландауэр в 1970 г.
Интерференционные осцилляции сопротивления проводника с двумерным электронным газом при изменении магнитного поля экспериментально исследовали Юрий Васильевич и Дмитрий Юрьевич Шарвины в 1981 г. Использовалось кольцо из магния диаметром (1,5¸2) мкм. При температуре ~1К длина свободного пробега электронов превышает размер кольца. На платиновые контакты А и В подается напряжение. Через кольцо проходит магнитный поток Ф. На контакте А электронная волна разделяется и идет по путям 1 и 2, набирая фазы θ1 и θ2, и интерферирует на контакте В с разностью фаз .
Учитываем, что при обращении движения набираемая фаза меняет знак, тогда можно считать, что электрон делает один оборот по кольцу. Из (1.34)
получаем , .
Изменение магнитного потока на меняет разность фаз
.
Максимум интерференции соответствует максимуму тока между контактами. В результате при изменении магнитного поля сопротивление между контактами осциллирует с периодом
.
Если через кольцо одновременно переносится заряд , то период осцилляций равен . Эксперимент подтвердил этот вывод. Квантование магнитного момента. Контур с током создает магнитный момент, равный произведению силы тока на площадь контура и направленный перпендикулярно плоскости контура по правилу правого винта.
Модули магнитного момента и момента импульса L заряда, создающего ток, взаимно пропорциональны
, где – гиромагнитное отношение, известное из классической физики. Используя (1.27) ,
получаем орбитальный магнитный момент электрона
,
, (1.37) где магнетон Бора (1.38)
введен В. Паули в 1920 г. Проекция орбитального магнитного момента на направление поля квантуется и пропорциональна магнитному квантовому числу m. Подстановка импульса. В магнитном поле длина волны де Бройля определяется полным импульсом . При изменении поля меняется векторный потенциал A и скорость заряда за счет явления электромагнитной индукции, полный импульс сохраняется и ему сопоставляется оператор неизменной формы . (7.12)
Действие магнитного поля на квантовую систему учитывается подстановкой импульса . (7.13)
В формулах, описывающих систему без магнитного поля, оператор кинетического импульса заменяется выражением (7.13). Электрическое поле со скалярным потенциалом учитывается дополнительным слагаемым потенциальной энергии
. (7.14)
Операторы физических величин. С учетом (7.13) и (7.14) получаем гамильтониан, уравнение Шредингера и плотность тока вероятности в электромагнитном поле
, (7.17)
, (7.18)
. (7.19)
Соотношения неопределенностей для проекций скорости. Используя (7.13) и , , , находим ,
,
. (7.21)
Операторы проекций кинетического импульса заряда в магнитном поле не коммутируют. Для операторов скорости , , из (7.21) получаем , , . Некоммутативность операторов приводит к соотношениям неопределенностей ,
,
. (7.22)
Проекции скорости заряда в магнитном поле определяются одновременно с ограниченной точностью.
|