Х—? у~~? г — ? а)(3;2;6); Ь)(3; -2; 6); 4; б); й;г(|;4;6); е)&Л

Ъ) 2;

С)-и

й) -2; е)0.

4.

С(4;0;4), созф

5. АВСВ — трапеция, ЕР средняя линия. АВ • ЕР —? а) 10;

с) 7;

6.

ОАВС — параллелограмм. у = АВЕС. ф—? а; 90°;

&/45°; с; -45°;

й; зо°;

е; 60°.

АВСО — трапеция, ЕР — общая средняя линия для трапеции и треугольника.

ВС(2;1;-2),

~МК{х;у;г)-1 а;(-3;-^;3); ь;(-7;^^;

сД7; ^;-7); й;(^;7;-7);

8. |АВ| = |АС| = \АЦ = 6 см, \ВС\ = 4 см, |Б^1 = 2 см,

22; Ь) 24; с; 27; й; 30; е,) 32.

9. |АО| = 10см,

АВС1) — квадрат, ос±р. о; 10; &;12; с) 13;

10. а ± Р, |АО| = |ВС| = 3 см, \ВЦ = \АС\ = 4 см,

А(2,3,0)

Ф=АД ВС.

СО8 ф —?

⁷ ,,7

Е>1

Дополнительные задачи

232. АВСВ — параллелограмм, а точка Е на стороне ВС такая, что
\ВЕ\: \ЕС\ = 2:3. Выразите вектор АЕ через векторы АВ и АС •

233. Докажите, что если диагонали четырехугольника при пересечении
делятся пополам, то такой четырехугольник есть параллелограмм.

234. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен основаниям.

235. Дан параллелепипед АВСВА₁В₁С₁В₁. М,М,Р — середины отрез­
ков ВВ_г, СВ_Х, ВС_г соответственно. Разложите по векторам
р = АВ~1, д = АО, г = АА_х векторы: 1) АВ; 2) ~АС[; 3) АЛГ ;
4)1$, Яе[В₁С₁], где Щ: В~Д = 5:11.

236. Вне плоскости параллелограмма АВСВ взята точка О. Разло­жите по векторам а = ОА, Ь = ОВ, с=ОС векторы: 1) ОМ, где М = (АС) о (ВВ); 2)ОВ;3)ОК, где К— середина АВ. Найдите координаты вершины и координаты точки пересече­ния диагоналей параллелограмма АВСВ: 1) А(0; 0; 0), В(1; 2; 3), С(-1; 1; -2); 2) А(-1; 2; 1), В(0; 4; 4), С(-2; 3; -1). С помощью векторов докажите, что если прямая перпендикулярна двум сторонам треугольника, то она перпендикулярна и третьей стороне.

Три ребра тетраэдра, исходящие из одной вершины, равны, углы между ними тоже равны. Докажите, что каждое ребро такого тетраэдра перпендикулярно противоположному.

240. Точка К — середина ребра АС правильного
тетраэдра АВСВ. Найдите косинус угла меж­
ду прямыми АВ и КВ.

241. Скорость течения реки — 1,2 м/с. Катер
движется со скоростью 3 м/с перпендикулярно
берегу. Определите скорость движения катера
по отношению к реке.

242. К концу кронштейна приложена сила
Р = т§ ~ 42 Н. Найдите силу сжатия стержня
ВС и силу растяжения стержня АВ (рис. 69).

243. Проволока закреплена в точках Л и С, а в
точке В приложена сила Р= т§= 45 Н. Най­
дите силу натяжения на участках АВ и ВС
(учитывая, что АВ расположена горизон­
тально, рис. 70).

244. Проволока закреплена в точках А и В, а в
точке С приложена сила Р = тп§ = 45 Н.
Найдите силу натяжения на участках АС и
ВС, если точки А ж В находятся на одном
уровне (рис. 71).

245. Основание АВ равнобедренного треугольни­
ка АВС лежит в плоскости ос (а Ф (АВС)).
Какой угол больше: 1) угол между прямой
АС и а? 2) между прямой СВ и а? (В —
середина стороны АВ).

246. Проекция равностороннего треугольника
на плоскости, проходящей через одну из его
сторон — прямоугольный треугольник. Най­
дите угол между стороной треугольника и
плоскостью проекции.

247. Дан ромб с диагоналями й_г и й_г Через его

сторону проведена плоскость у, образующая с другой стороной угол. Найдите площадь проекции ромба на плоскость.

248. Концы отрезков АВ и СВ принадлежат параллельным плоскос­
тям а и (3. Проекции этих отрезков на одну из плоскостей
соответственно равны а и Ъ, а углы ((АВ) /. а) и ((СО) А а) относят­
ся как 1: 2. Найдите расстояние между плоскостями.

249. Из точек А и В, принадлежащих одной из граней двугранного угла,
проведены перпендикуляры АА_г, ВВ_г на плоскость другой грани
и перпендикуляры АЛ„ ВВ₂ на ребро. Найдите:

1) \ВВ₂\, если |АА₁| =15 см, \ЙВ_г\ = 27 см, \АА₂\ = 20 см; 2) \АА_Х\ и [ВБу, если \А_гА₀\ = тп, |ВД| = п, |АА₁| + \ВВ_г\ = р.

250. Угол между плоскостями АВС и ВВС равен 45°. Найдите \АВ\,
если |АВ|=15 см,|ВС|=14 см, |АС|=13 см, \ВВ\=\ВС\= 9 см.

''М.Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного ср. Из точек АшВ проведены перпендикуляры АС и ВВ к ребру двугранного угла. Известно, что |АС| = 10 см, \ВВ\ = 5 см, \СВ\ = 12 см. Найдите |АВ|, если: 1) <р = 90°; 2) ср = 60°.

252. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит в плоскости а, его катеты наклонены к этой плоскости под углами 30° и 45°. Найдите угол между плоскостью треугольника и плоскостью а.

'МУЛ. В тетраэдре АВСВ все ребра, кроме ребра ВС, имеют разные длины, АСАВ = 90°. Найдите величину двугранного угла АВ.

254. Модель параллелограмма АВСВ, у которого \АВ\ = 2 дм, \АЦ =
= 3 дм, /.ВАВ = 60°, перегнута по диагонали АС так, что обра­
зовался двугранный угол в 120°. Какую величину после этого
имеет угол между сторонами АВ и АО?

255. Модель ромба со стороной а и диагональю ВВ, равной й, перегну­
та по этой диагонали так, что образовался двугранный угол,
равный ф. \АС\ —?

256. Точки А и В принадлежат различным граням прямого дву­
гранного угла и находятся на равных расстояниях \АА₁\ и |ЛВ₁| от
его ребра. Известно, что \АВ\: \АА₁\ = 2. Найдите: 1) угол между
прямой АВ и ребром двугранного угла; 2) углы между прямой
АВ и каждой из его граней.

■

Ответы и указания

16. Так как С б (АВВ) и М е (АВВ), то (СВМ) = (АВВ). 18. Боли обозначим ЛГ = а п Ь, то (МЫ) — искомая прямая. 19. 1) правильно, 2) нет. (Возможно А е т). 20. 1) прямая, луч, пустое множество; 2) луч, отрезок, точка, пустое множество; 3) плоскость, полуплоскость, пустое множество; 4) полуплоскость, полоса, угол, прямая, пустое множество; б) отрезок, точка, пустое множество; 6) треугольник, четырехугольник, отрезок, точка, пустое множество. 36. Нет. 43. Если точка не принадлежит прямой, то можно провести бесконечно много плоскостей. 62. Нет. 63. Возможно; нет. 64. Нет. 67. Возможны треугольник, правильный треугольник, прямоугольный четырехугольник, квадрат, трапеция. 77. 1) 7 м; 2) \ВВ^ = а+ с + Ь. 79. Возможно, пересекутся или параллельны. 80. Пересекаются (или скрещиваются). 87. 45°. 88. 90°. 89. Бесконечно много. 90. Бесконечно много. 92. 5 см. 93. 10 см, 2743 см. 95. Возможно. 96. а) =21 см; б) зУ2а; в) «14 дм. 97. Существует. 98. 2У2 см. 99. Нет. 100. Единственная прямая; бесконечно много. 101. С плоскостью а не пере­секается. 102. 9 см². 106. 1б72см². 107. 1) 26 см; ЗУэТсм²; 2) а (1+2 Л), ~а\

108. 1 см или 0,6 см. 109. 1) 3 см; 2) 10 дм; 3) 15 см. 111. -Д см, 4 см, =3,4 см. 113. 2 дм;

16 дм. 114. Окружность с радиусом 0,6 дм и с центром в основании перпендикуляра. 115. 1) 15 см, 41 см; 2) 15 см, 41 см. 116. 9 см; 0 см или 15 см; 9 см. 119. 12 см. 120. 5 см, 3 см. 121. Указание: а) если предположим В е а и а > Ь, то х = Ь; б)если

предположим А е а и а < Ь,то х = — %ц —. 122. 8 см, 17 см. 123. 4т² + с² • сов²а. 124. 96 см, =69,3 см. 125. 3 см. 126. 1 см. Указание: рассмотрите уравнение

4 - х² ~ 13 - 4Х², где х — высота треугольника. 127. д/^²~-!г ^и

128. у1п²-Н.². 129. 5 см. 130. 1) 4 см; 2) 3,6. 132. 35 дм. 133. 6 дм; 134. 8 м. 135. 0,5 дм;

л/2

136. '12т²-п²; *1п^г-т²; 137. 2 дм. 138. 1,2 дм; 6,2 дм. 139. ~ а. 140. 2 дм.

141. Возможно, бесконечно много. 142. 1) 12 -Уз см; 12 см; 2) 16 см, 8 Уз см; 3) 10 Уз, б УЗ. 143. 50\ 144. 45*. 145. ЗУ2 дм. 146. 12У§ см. 147. бУ1см. 148. Воспользуйтесь теоремой косинусов. 149. =44 м. 151. 1) 4Убсм; 2) 2У15 см. 152. а или а-УЗ. 153. «42 см. 154.16 см. 155. ЗУЗ дм и 3 дм. 157.17 см. 160. т[а?~+ Ь² + с² - 2Ьс ■ сов_ф.

■

161. 30°. 164. 13 см. 165. 30°. 166. А-У2. 167. 45°. 168. 1) Уа²+Ь²+с²"; 2) Уа²+6²-с². 169. 17 см. 170. 1)тУ2; 2)тУЗ; 3) 60°. 174. [(2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 6), (2; 4; 0),

(0; 4; 6)]. 175. 4У2; У41. 176. Расстояние до плоскости ху равно 3, до плоскости хг равно 2, до плоскости уг равно 2; расстояния до координатных осей х,у,г соответ-

ИВенно равны У13, У13, 2У2; расстояние от начала координат У17. 177. Точка А

1 1 ближе. 178. (-1, -2, 0). 179. -4. 180. Д(0; -2; 0). 181. К(- ^; ₄; 0). 183. Щ-1; 7; -2).

184. Возможно. 185. Равно; нет. 186. (1; 3; 3). 187. (6; -4; -3). 188. (-3; 2; -б). 189. Уи; Ш: 190. х = ±3. 191.. а (6; -3; 3) или а (-6; 3; -3). 193. (10; -2; 6).

194. 0(0; 0; 0). 195. в) б. 196. АС.

5-,---16.201.(11,-2,-13). 202.

/70. 2ОЗ.в = |;

204. 1) 5 + 55; 2) 5-56. 205. 1) \а\ 2) \а. 207. 1) Ь-а; 2) 2Ь-а; 3) 6--*а.

218}. 1) 90'; 2) 50°; 3) 140°. 211. 1) 0; 2) -12. 212. 1)д,- 2) -1. 213. 46°. 215. 150. 216. созС =•/]§. 217..ОО = |(зй + 5 + г). 210. 60°. 220. а,Ь— стороны ромба. 230. 145 м. 282. АВ+^ВС. 235. 1) р; 2) ]? + д; 3) д+р-^г; 4) ^Р + Я+^г. 286. 1) ОМ=^а+^с; 2) 05 = а + с-|,- 3) <Ж=й+*(с-&). 237. 1)(-2; -1; -5);

~--;^;-1|; 2) (-3;

= ^?. 241.

ч - - ,' °

242. ⁴² «, 73,2 Н; -, ⁴|_к. «35 Н. 248. 15^3 «26; ЗоУз - 52,0.244.

245. Больше во втором сл^'чае. 246.45°. 247. * -^Ы1й²₂ - (41 + й|)² ■ 8.т²ср. 248. ■ 7о(а^2б).

Указание: рассмотреть систему Л ^ _. _с^„2х' ^{где че}Р^ез ^ обозначено

расстояние. 249. 1) 36 см; 2) ЛЕ-,_;."!'.. 250. =9,17 см. 251. 1) =16,4 см;

га + га т + л

см. 252. 60°. -253. агссоз4- «54°44'. 254. агссоз

■уз

Ответы к тестам

Т-2.2