Полезное:

Категории:

Архитектура Астрономия Биология География Геология Информатика Искусство История Кулинария Культура Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Охрана труда Право Производство Психология Религия Социология Спорт Техника Физика Философия Химия Экология Экономика Электроника

Со

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

Рис. 56

+ а\ + а\

Отсюда \а\ =

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а ТТ Ь) или противоположно направлены (т Т4- л). Если векторы ОМ и ОМ коллинеарны, то точки О, Л^г, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

Вопросы к задания

1. Как изображаются векторные величины?

2. Определите координаты вектора, начало которого А(х₁; у_г; г,), а конец В(х-^ у₂; г₂).

3. Как вычислить длину вектора?

4. Какие векторы называются коллинеарными? Что можно сказать об их направ
лениях?

Задачи

■ ■. ■,

185. Точка В — середина отрезка АС, а С — середина отрезка ВО.

Равны ли векторы С А и ВВ? АВ и ВС?

186. Найдите координаты вектора АВ, если А(2; 4; 3) и В(3; 7; 8).

187. Найдите координаты начала направленного отрезка СВ, соот
ветствующего вектору с (-8; 2; 4), если его конец В(3; -2; 1).

188. Найдите координаты конца направленного отрезка МИ, соот
ветствующего вектору т (-■ 1; 3; -2), если его начало М(-2; -1;-3).

189. Найдите длины векторов т(3; 2; 1) и Я (-2; -1; 6).

190. Длины векторов а (2; 1; 3) и В (-1; т, 2) равны. Найдите х.

191. Найдите координаты вектора а (21; -I; г), если его длина ^/54.

192. Коллинеарны ли векторы: а) а (3; 3; 0) и Ъ (2; 2; 7); б) т (0; 2; 0)
и п (0; -1; 0); в) р(2; 1; 3) и д(4; 2; 6)?

I--------:________

§25. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

Действия над векторами в пространстве определяются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов а(а_х, а₂, а₃) и Ъф_г, Ь₂, Ъ₃) называется вектор а + Ъ с координатами (а_г + Ь_х; а₂ + Ь₂; а_г + Ь₃). Для любых векторов а, Ь и с справедливы равенства:

1) а + Ь = Ъ + а — переместительный закон сложения;

2) а + \Ъ + с)=\а + ъ)+с — сочетательный закон сложения.
Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство АВ + ВС = АС.

Действительно, для любых трех точек А(а_г, а₂, а₃), Вф_г, Ъ₂, Ь_г),

,, с₂, с₃) ~АВф₁ - а_г; Ъ₂ - а₂; Ъ_ъ - а₃) и ВС (с_г - &,; с₂ - Ь₂; с₃ - Ь₃).

Отсюда АВ + ВС = АС (с, -ал с„ - а_о; с. - аЛ.

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилом треугольника (рис. 57).

Также применяется и правило параллелограмма-. Оно часто используется в физике.

Если АВСВ — параллелограмм (рис. 58), то АВ + АВ = АС.

.**.. а^ | ч^х/ -г хли тяР — АР. _ Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называют противоположными. Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты имеют противоположные знаки.

Рис. 57

Рис. 58

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, Д С, В, Е, Р, то всегда

Определение. Разностью векторов а иЬ называется такой вектор с, который в сумме с вектором Ъ дает вектор а.

Если а (а_г; а₂; а₈) и Ь ф_г; Ь₂; Ь₃), то а-Ъ = с(а₁- &,; а₂ - Ь₂; а₃ -Ъ₃). Определение. Произведением вектора а (а_г; а₂; а₃) на число к называется вектор к ■ а = (к- а_г; к- а₂; к- а₃).

Из определения вытекают следующие свойства:

2) (т + п)-а=т-а+п-а и равенство \к' а\ =\к\ • |а| (здесь к, т, п — числа).

Вопросы и задания

1. Повторите определение сложения двух векторов и запомните.

2. В каких случаях удобно пользоваться "правилом параллелограмма"?

3. По какому правилу выполняется сложение нескольких векторов в пространстве?

4. Повторите и запомните свойства сложения векторов.

5. Какие векторы называются противоположными? Что можно сказать о знаке
их координат?

6. Что называется разностью двух векторов?

7. Какой вектор называется умножением вектора а (а_х; а₂; а₃) на число Ш

8. Повторите и запомните свойства умножения вектора на число.

Задачи

193. Найдите сумму векторов а (4; 2; -4) и Ъ (6; -4; 10).

11 5 2^;4

194. Найдите сумму векторов о[ 0; 5; -,,,

195. Найдите сумму векторов: а) 'МЫ и ЫК', б) Р8 и РЕ; в) АВ,
ВС, СВ и ВА.

196. АВСВ — тетраэдр. Чему равна сумма АВ +ВВ+ВС?

197. АВСВ — квадрат. АВ = а, АВ = Ъ. Постройте векторы: 1) За;
2)2&;3)3а + 26.

198. АВСВ — параллелограмм. АВ = а, АВ = Ъ. Постройте вектор
За-2Ъ.

199. Найдите разность векторов а-Ъ, если: 1) а (8; -1; 5), Ъ (-2; 3; -2);
2) 5 = 0, 5(2;-3;4).

200. Умножьте вектор с (5; -2; 3) на 2; х; - ^; 0.

201. Найдите координаты вектора 2 -АВ + 3 -ВС, если Л(2; 1; 4),
Я(3;0;-1)иС(1;-2;0).

202. Найдите длины векторов За - Ъ и 2а + ЗЬ, если а (2; 0; -3) и

а)

Рис. 59

203. Даны векторы а (2; п; 3) и Ь (3; 2; т). При каких тип эти
векторы коллинеарны?

204. АВСВ —параллелограмм. Точка Рделит сторону ВС на два отрез
ка в отношении 1: 4. АВ=5, ВВ = Ь, Выразите: 1) АС; 2) ВВ
через а,Ъ.

205. АВСВ — трапеция. Основание АВ в три раза больше основания
Вв. ЕР — средняя линия трапеции, АВ=а. Выразите вектор;
1) ВС: 2) ЕР через вектор о.

206. Точка О — центр правильного шестиугольника АВСВЕР, Дока
жите, что: 1) АВ-ВС=>ОВ; 2) АВ-ВС=АО.

С ■

207. Медианы ВР и АЕ треугольника А8С пересекаются в точке О.
АВ=а, РС = Ь. Выразрхте: 1) ВР; 2) ВС; 3) СЕ через а и &.

208. Пусть М ш N — середины отрезков АВ и СД лежащих на
скрещивающихся прямых, а О — середина отрезка ММ,
Докажите, что ОА+ОВ+ОС+ОВ= 0.

#26. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если отложить векторы а, Ъ, с, изображенные на рисунке 59, а, от любой точки О, то все эти три вектора будут лежать в одной плоскости. Поэтому они компланарные.

Векторы т, п, к, изображенные на рисунке 59, б, не компланарные, так как при отложении их от одной точки они не лежат в одной плоскости.

Три некомпланарных вектора г (1; 0; 0), 7 (0; 1; 0) и к(0; 0; 1) называют ортами (единичными координатными векторами). Всегда

если а (а_х; а₂; а₃), то каждый раз можно представить только в виде (рис. 60):

а = а_г ■ I + а₂ ■ / + а₃ • к.

Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам.

Вообще если даны три некомпланарных вектора ОА, ОВ, ОС, то

любой вектор ОВ можно представить, притом единбтвенным способом, в виде:

ОВ=хОА + у,

где х, у, г — некоторые действительные числа (рис.61).

О.

%.1

Рис. 61

Рис. 60

§27. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Скалярным произведением векторов а (а_г; а₂; а₃) и ЬФ_У; Ъ₂; Ь₃) называется число а_г ■ Ъ_г + а₂ • Ъ₂ + а₃ • Ь₃.

Таким образом, по определению а • Ъ = а, • Ь_г + а₂ ■ Ъ₂ + а₃ ■ Ь₃. Так же, как и на плоскости, в пространстве доказываются четыре свойства

скалярного произведения:

1) а- а =а²>0;

2) о-5 = 5-5;

3) [ 4)

Рис. 62

Определение. Уелож

между двумя векторами называется величина образуемого ими угла, когда они исходят от одной точки (рис. 62).

Угол между противоположно направленными векторами равен 180°, а между сонаправленными — 0°.

Теорема 21, Скалярное произведение векторов равно произведе_:нию их абсолютных величин на косинус угла между ними, т. е.

а'Ъ = Теорема доказывается так же, как и на плоскости. Из последнего равенства для ненулевых векторов следует: а- Ъ = 0 <=> а ± Ь. - Задача 3. Найдите косинус угла между векторами а (1; -2; 2) и 6(-4;3;0). Решение, й • Щ ■ созср = п'Ь. Отсюда

а-Ь

1-(-4) + (-2)-3 +

а'Ъ = \а ' Ц'со

-10

Ответ: сов® = - -.

о Вопросы и задания

1. Какие векторы называются компланарными?

2. Какие векторы называются не компланарными?

3. Какие векторы называются ортами?

4. Как вычислить скалярное произведение двух векторов?

5. Повторите и запомните свойства скалярного произведения.

6. Запомните теорему о скалярном произведении векторов.

7. Объясните, почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно

нулю?

Задачи

209. Разложите по ортам векторы: 1) а (7; 4; -2); 2) о —; -; -3.

...................................... 13 7 )

210. В треугольнике АВС угол С прямой, а А В = 40°. Найдите угол

между векторами: 1) СА и СВ; 2) ВА и СА; 3) СВ и ВА.

211. Найдите скалярное произведение векторов: 1) 5(1; 2; 4),

6 (-8; 2; 1); 2) р(-2; -3; 1) и д(2; 3; 1).

212. При каком значении п данные векторы перпендикулярны:

1) а (2; -1; 3), Ь (1; 3; п); 2) а (га; -2; 1), Ь (п; -п; 1)?

213. Найдите угол между векторами т(-2; 2; 1) и п (-1; 0; 1).

214. Даны четыре точки А(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0), Щ.2; -3; 1).

Найдите косинус угла между векторами АВ и СВ.

В

215. Даны векторы а (1; -5; 2) и Б (3; 1; 2). Найдите скалярное произ
ведение векторов 2а + Ъ и За - 2Ъ.

216. Даны точки А(0; 1; -1), ВЦ; -1; 2), С(3; 1; 0). Найдите косинус
угла С треугольника АВС.

217. В тетраэдре В АВС точка Е — середина стороны ВС, а точка О —

середина стороны АЕ. Выразите ВО через векторы ВА = а, ВВ = Ь, ВС = с.

С

218. Из вершины прямого угла А треугольника АВС восстановлен
перпендикуляр АВ к плоскости треугольника. Найдите косинус

угла ф между векторами ВС и ВВ, если угол АВВ равен а, а угол АВС равен (3.

219. Наклонная образует с плоскостью угол 45°. Через основание
наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45° к
проекции наклонной. Найдите угол ф между этой прямой и
наклонной.

§28. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторы широко применяются в математике и физике. В геометрии с их помощью выводят уравнения плоскостей, прямых и других фигур, решают многие интересные задачи. Для этого данные в задаче соотношения между геометрическими и физическими объектами сначала как бы переводят на язык векторов. После чего преобразовывают полученные векторные равенства и снова переводят их на обычный язык геометрии или физики.

В школьной практике часто используют следующие равенства и утверждения:

1. Если прямые АВ и СВ перпендикулярны, то АВ • СВ = 0;

2. й' Ъ — Щ ' Щ ^#СО8(р;

3. Если О — любая точка в пространстве, а М — середина отрез
ка АВ (рис. 63) или точка пересечения медиан треугольника АВС
(рис. 64), то соответственно

СЖ= | ((М + ОВ) или ОМ= *(рА + ОВ + ж).

Докажем последние равенства. Для любых трех точек справедливы равенства ОМ +МА = ОА, ОМ+МВ = ОВ, ОМ+МС = ОС.

Если сложим два первых из них и учтем, что МА + МВ = 0, полу-чим 2 • ОМ = ОА + ОВ, откуда 0М= * [РА ⁺ ^ов)-

Если теперь сложим все три равенства и учтем, что ~МА + МВ + + МС=б, получим, 3-ОМ= ОА + ОВ + ОС, откуда ОМ=¹-(ОА + ОВ + ОС) (рис. 64).

Приведем несколько примеров на применение векторов в математике и физике.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной вектору п (а; Ъ; с), и проходящей через точку М(х₀, у₀, 2₀).

Решение. Пусть К(х, у, г) — произвольная точка рассматриваемой плоскости а

(рис. 65). Векторы п (а; Ь; с) и МК (х - х₀; У
у — у₀; 2 — 2₀) перпендикулярны. Поэтому их г_х скалярное произведение равно нулю: _Рис ^5

а • (х - х₀) + Ъ • (у - у₀) + с • (г - г₀) = 0.

Это и есть искомое уравнение плоскости а. Если обозначить й = -(а • х₀ + Ъ • у₀ + с • г_о+ сО, его можно представить в виде

ах + Ъу + сг + Л = 0. (1)

Итак, координаты х, г/, г каждой точки плоскости а удовлетворяют полученному уравнению. Можно доказать также, что координаты любой точки, не лежащей на плоскости а, этому уравнению не удовлетворяют.

Пример 2. Требуется доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон.

Доказательство. Пусть АВСВ — параллелограмм (рис. 66).

Рис. 66

Ясно, что АС = а + Ъ, Ъв = а-Ь. Обе части этих равенств скалярно умножим сами на себя: АС —\а + Ь)

и

Найдем сумму квадратов диагоналей:

АС² + Ш² = (а + Ь]+ (а - Ъ)=

о² + 2а • Ь + Ъ² + а² -23 • Ъ + Ъ² = 2(а² + Ь²). Теперь с учетом равенств а = АВ = ВС

/ ч \

\ \у \

с / \

л- \ \

и Ъ = АВ = ВС, получим:

АС² + ВВ² = АВ² + ВС² + ВС² + ВА². ^В'

Что и требовалось доказать.

Рис. 67

ПримерЗ. АВСВ А₁В₁С₁В₁ — прямоугольный параллелепипед, К —точка пересечения медиан треугольника А_ХВВ. Доказать, что прямая АС_Х проходит через К и определить, в каком отношении точка К делит отрезок АС_г (рис. 67).

Решение. Так как К

точка пересечения ме

+ АВ + 1в). и АО = А~^в[, то

_^'диан треугольника А_гВВ, то АК= | {аГ "

Так как АВ = В^

АА₁+~АВ + АВ=

Значит АК= - АС у ■ Из последнего равенства следует, что точ-ка К лежит на прямой АС_г, с другой стороны, \АС_г\ = 3 • \АК\, следовательно, \АЩ: \КС_г\ = 1:2. Задача решена.

Пример 4.К концу кронштейна приложена сила Р=т§=20Л. а = 40°. Найдите силу растяжения стержня АВ и силу сжатия стержня ВС (рис. 68).

Рис. 68

Решение. Рассмотрим параллелограмм ВВЕС. Силы, действующие на стержни, направлены по сторонам параллелограмма ВВ и ВС. Считая, что в треугольнике ВСЕ известны

катет \ВЕ\ = 20 и угол АСВЕ = 50°, найдем катет СЕ и гипотенузу ВС.

Имеем:

Пример 5. (На использование скалярного произведения в физике). Сила в 16 Н, действующая в направлении движения под углом 45°, передвинула тело на расстояние 4 м. Определите работу, совершенную при помощи этой силы.

Решение. Действующую силу выразим через р, а направление движения тела через 3.

Тогда \р\ = 16, |3| = 4м, ср = (> 3) = 45°.

Если для определения работы воспользуемся формулой А = \р\х х 131 • сое <р, получим А — 16 • 4 • соз45°~ 49 (Дж).

Если направление действия силы будет равнонаправлено с направлением движения, то ф = 0, а соз <р = 1. Формула вычисления работы будет А = Р • 8.

Задачи

А

220. Векторы а, Ъ, а + Ь построены с одной и той же точки. Если
вектор а + Ь делит угол между векторами а и & на равные части,
то какими будут векторы а и Ъ?

221. Угол между векторами АВ и СВ равен 60°. Найдите угол между

векторами: 1) ВА и СВ; 2) АВ и ВС.

222. АВС — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот.

Докажите, что ОА + ОВ+ОС = б.

223. С помощью векторов докажите, что диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.

224. Катер прошел в направлении к северо-западу 2 км, а потом,
повернув на север, еще 1 км. Выберите масштаб, постройте вектор
перемещения и найдите его длину.

225. АВСВ — тетраэдр, у которого основанием является треугольник АВС. Все ребра тетраэдра равны. Точка Е —середина отрезка ВА,

а точка Р —середина стороны ВС. Докажите, что ЕР -АВ = 0.

226. С помощью векторного метода докажите, что диагонали
прямоугольника равны.

227. С помощью векторов докажите, что высота прямоугольного
треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропор
циональное между двумя отрезками, на которые он делит гипо
тенузу.

228. Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его
основанию и равна половине основания.

229. Докажите, что средняя линия трапеции равна половине суммы
ее оснований.

230. Катер движется со скоростью 5 м/с перпендикулярно к берегу.
Ширина реки 720 м, скорость течения 1 м/с, вследствие чего за
каждые 5 м пройденного пути катер относит в сторону пер
пендикулярно курсу на 1 м. На сколько метров он уйдет в сторону,
пока достигнет противоположного берега?

231. У пирамиды АВСВ ребра АВ и ВС, ВВ и АС перпендикулярны.
Докажите, что ребра СВ и АВ также перпендикулярны.

5(0,2,2)

А

в, кХ-- Ас

8. АВСОЕГ —правильный шестиугольник.

I)

—УС

в

К

А,^

Тестовые задания к теме "Векторы"

Тесты 3.1. 1. АВСВ — прямоугольный

с,

четырех-

угольник. ТУ А гттт!

а) 1 -на —8;

Ъ) -8;

с) -7;

й) 7;

е) 11.

2. АВСВА₁В₁С_гО₁ — куб. \АК\ = \КВ\ = 2 см

а; 4; 6; -4л/2; с) 5л/2; 3. АВСВА₁В_ХС_ХВ₁ — куб.

а; 1;

&; 2;

с) 72;

</; Д;

4.

е; 272.

^ - куб.

^ 4; &;-5; ^ 6; й; 8; е; 9.

5. Ш) — биссектриса.

Ш-аЗ —?

а; 25; 6; 17; с; -25; й; ||; _е; -

>. АВОС

а; -2; &; 2; с; 1;

й; -1; е) 0.

7. АВС1)А₁В₁С₁1)₁ — прямоугольный параллелепипед. В_ХР • О_ГВ —?

а; -До;

Ь; 11; с; -11;

й) ~

а²;

6; -а²; с; 2а²;

о.

9. АВСВ — правильный тетраэдр.

е) /15.

а) 6;

Ъ) -12;

с) 18;

й) 21;

е) 24.

10. АВСВ — правильный тетраэдр.

\вщ = \сщ

-

АВ-СЕ-? а) 0; Ъ) -1; с) 1;

й; л/2;

е) 272.

С(0,3,б)

С(0,3,2)

В(0,4,0)

Тесты 3.2.

1. К — точка пересечения медиан.

\ОЩ = \ОМ\. ОМ (х; у; г) —? )(213

);

Ъ) (1; 2; 3); с) (2;-4; 6);

Л) (2; в; 4);

2.

Е)(2;4;в).

Гк

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 Следующая ⇒

Date: 2015-04-23; view: 1354; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...

mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию