Четыре частных уравнения переноса

Воспользуемся теперь конкретными потоками J и I и силами X и Υ и преобразуем обобщенное уравнение (100) к виду, удобному для практического использования. При этом всего получаются четыре частных варианта дифференциальных уравнений переноса, ибо каждый из потоков J и I может сочетаться с каждой из сил X и Υ.

В первом варианте сочетаются поток J и сила X. В про­стейших условиях двух степеней свободы (n = 2) из выра­жений (100), (107) и (109), заменив разность dP на dР, получим

J₁ = a₁₁X₁ + a₁₂X₂ (111)

J₂ = a₂₁X₁ + a₂₂X₂

где

a₁₁ = - K_P11(1/(dFdt)); a₂₂ = - K_P22(1/(dFdt)) (112)

a₁₂ = - K_P12(1/(dFdt)); a₂₁ = - K_P21(1/(dFdt)) (113)

В гипотетических частных условиях, когда n = 1, имеем

J = aX (114)

где

a = - К(1/(dFdt)) (115)

В уравнениях переноса (111) и (114) величина a пред­ставляет собой частную проводимость, которая играет роль, например, коэффициента отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В частном случае из равенства (114) получается известное уравнение закона теплообмена на по­верхности тела Ньютона (см. параграф 2 гл. XX).

Во втором варианте сочетаются поток I и сила X. Ограничи­ваясь двумя степенями свободы (n = 2), из выражений (100), (108) и (109) находим

I₁ = b₁₁X₁ + b₁₂X₂ (116)

I₂ = b₂₁X₁ + b₂₂X₂

где

b₁₁ = - K_P11(1/dt); b₂₂ = - K_P22(1/dt) (117)

b₁₂ = - K_P12(1/dt); b₂₁ = - K_P21(1/dt) (118)

При n = 1 получаем

I = bX (119)

где

b = K(1/dt) (120)

В уравнениях переноса (116) и (119) частная проводи­мость b есть, например, коэффициент отдачи вещества на контрольной поверхности системы. В отличие от коэффициен­та a, относящегося к единице площади поверхности, вели­чина b относится к поверхности в целом.

В третьем варианте сочетание потока J и силы Υ при двух степенях свободы (n = 2) позволяет получить из выражений (100), (107) и (110) следующее частное дифференциальное уравнение переноса:

J₁ = L₁₁Y₁ + L₁₂Y₂ (121)

J₂ = L₂₁Y₁ + L₂₂Y₂

где

L₁₁ = - K_P11(dx/(dFdt)); L₂₂ = - K_P22(dx/(dFdt)) (122)

L₁₂ = - K_P12(dx/(dFdt)); L₂₁ = - K_P21(dx/(dFdt)) (123)

При n = 1 имеем

J = LY (124)

где

L = - K (dx/(dFdt)) (125)

В уравнениях (121) и (124) коэффициент L представляет собой удельную проводимость системы по отношению к веще­ству. В частных случаях выражение (124) дает известные уравнения законов теплопроводности Фурье, электропровод­ности Ома, диффузии Фика и фильтрации Дарси [17, 18, 21].

Наконец, в четвертом частном варианте сочетаются поток I и сила Υ. Для двух степеней свободы (n = 2) из равенств (100), (108) и (110) находим

I₁ = M₁₁Y₁ + M₁₂Y₂ (126)

I₂ = M₂₁Y₁ + M₂₂Y₂

где

M₁₁ = - K_P11(dx/dt); M₂₂ = - K_P22(dx/dt) (127)

M₁₂ = - K_P12(dx/dt); M₂₁ = - K_P21(dx/dt) (128)

При n = 1 имеем

I = MY (129)

где

M = - K (dx/dt) (130)

Частная проводимость Μ отличается от L тем, что отно­сится не к единице площади сечения системы, как L, а ко всему сечению. Именно в такой форме обычно используется закон электропроводности Ома.

Перечисленные частные дифференциальные уравнения пе­реноса позволяют охватить самые характерные и наиболее часто встречающиеся на практике условия распространения вещества [ТРП, стр.143-145].