Вывод обобщенного дифференциального уравнения переноса

Из равенства (97) и комментариев к нему видно, что интенсив­ность процесса переноса, а значит, и количество перенесенного вещества dE должны зависеть от разности интенсиалов dΡ. Следовательно, в уравнении переноса в отличие от уравнения состояния экстенсор dE должен быть выражен через разность интенсиалов dP. Чтобы найти соответствующую функциональ­ную зависимость, необходимо обратиться к третьему началу ОТ.

Согласно третьему началу, имеет место однозначная связь между интенсиалами и экстенсорами (см. уравнение (52)). Отсюда прямо следует, что экстенсоры можно выразить через интенсиалы, для этого из каждой строчки уравнения (52) находится соответствующий экстенсор и подставляется в остальные строчки. В результате выполнения указанной процедуры получается совокупность следующих так называе­мых обращенных зависимостей:

E_k = f_k(Р₁; Р₂;...; Р_n) (98)

где k = 1, 2,..., n; f_k - некие новые неизвестные функции.

В обращенном уравнении (98) роль аргументов играют интенсиалы, а роль функций - экстенсоры. Однако отсюда вовсе не должно вытекать, что интенсиалы, подобно экстенсорам, являются первичными величинами и их можно именовать параметрами состояния. В действительности, как мы видели, первичность и вторичность тех или иных характеристик опреде­ляются из других соображений.

По-прежнему для простоты ограничимся системой с двумя степенями свободы. В этом случае уравнение (98) приобретает вид (n = 2)

E₁ = f₁(Р₁; Р₂) (99)

E₂ = f₂(Р₁; Р₂)

Путем дифференцирования находим

dE₁ = K_P11dР₁ + K_P12dР₂ (100)

dE₂ = K_P21dР₁ + K_P22dР₂

где

K_P11 = (¶Е₁/¶Р₁)_Р2; K_P22 = (¶Е₂/¶Р₂)_Р1; (101)

K_P12 = (¶Е₁/¶Р₂)_Р1; K_P21 = (¶Е₂/¶Р₁)_Р2. (102)

Индекс, стоящий внизу скобки, указывает на интенсиал, ко­торый при дифференцировании сохраняется постоянным. В наиболее простом частном случае, когда n = 1, получаем

Е = f(Р) (103)

dЕ = КdР (104)

где

К = 1/А = dЕ/dР (105)

Выражения (100)-(102) несколько напоминают уравнения состояния (54)-(56). Вместе с тем между ними имеется и существенная разница.

Прежде всего необходимо отметить, что в новое уравнение (100) входят емкости К_р, найденные при постоянных значениях интенсиалов; это обстоятельство подчеркивается индексом Р. В уравнениях состояния, где емкости К и структуры А опреде­ляются при постоянных экстенсорах, соответствующий индекс Ε при них опущен.

Как и прежде, емкости К_р обратны характеристикам А_р, которые тоже берутся при постоянных Р, то есть

А_р = 1/К_р (106)

Характеристики К_р и А_р в принципе отличны от характеристик К и А. Неучет этого обстоятельства может привести к серьезным ошибкам, особенно если система находится вблизи нуля интен­сиалов. Разницы между указанными характеристиками нет только в том гипотетическом частном случае, когда система располагает всего одной степенью свободы (см. формулы (60) и (105)).

Экстенсоры dE в уравнениях (54) и (100) имеют один и тот же смысл - они характеризуют количества переданных веществ. Что касается разностей dP, то в первом случае они определяют изменение состояния системы, а во втором - те перепады или напоры, которые служат причиной переноса веществ. Естественно поэтому, что разности dP в уравнениях (54) и (100) не равны между собой.

Дифференциальное уравнение (100) связывает количества перенесенных веществ с имеющимися разностями интенсиалов, следовательно, его допустимо трактовать как некое обобщен­ное дифференциальное уравнение переноса. Согласно этому уравнению, количества перенесенных веществ dE пропорцио­нальны разностям интенсиалов dP, причем коэффициентами пропорциональности служат емкости К_р, найденные при постоянных значениях интенсиалов. Эти емкости именуются обобщенными проводимостями [17, с.37; 18, с.142; 21, с.64]. Из выражений (100), (101) и (102) видно, что существуют два типа обобщенных проводимостей: основные, индексы которых составлены из одинаковых цифр, и перекрестные, их индексы содержат разные цифры. В частном случае из равенств (100) и (104) могут быть получены все известные уравнения переноса [ТРП, стр.139-141].

3. Термодинамический поток и «сила».

Обобщенное дифференциальное уравнение переноса (100) весь­ма примечательно, ибо оно в самом общем виде описывает процесс распространения любого вещества, в том числе метри­ческого и хронального, которые имеют отношение к простран­ству и времени. Но вопрос о пространстве и времени требует особого, более глубокого рассмотрения. Поэтому в настоящей главе мы ограничимся лишь приведением уравнения (100) к общепринятому виду, в котором пространство и время играют роль неких вспомогательных, опорных, эталонных характери­стик.

Чтобы иметь возможность перейти к традиционной записи уравнения (100), необходимо вначале ввести понятия термо­динамических потока и «силы», как это делается в термоди­намике необратимых процессов. Для практических целей в работе [17, с.37-53] рекомендуются восемь различных основных вариантов выбора потоков и сил. Из них здесь рас­сматриваются четыре наиболее употребительных. В случае распространения метрического и хронального веществ при­ходится принимать во внимание также некоторую их специ­фику (см. параграфы 1 и 2 гл. XV).

Термодинамический поток, или просто поток, пропорциона­лен количеству перенесенного вещества, характеризуемого экстенсором dE. Наибольший практический интерес представ­ляют два весьма характерных выражения для потока. В первом случае количество вещества dE относится к единице площади поверхности dF и единице времени dt. Такой удельный поток обычно обозначается буквой J. Имеем

J = dE/(dFdt) (107)

Во втором случае количество вещества относится только к единице времени и обозначается буквой I. Получаем

I = dE/dt (108)

Потоки J и I, характеризующие конкретные условия пе­реноса, широко применяются на практике: первый поток на­иболее известен в теории теплопроводности, второй - в элек­тротехнике, где именуется силой тока.

Термодинамическая сила, или просто сила, ответственная за перенос вещества, пропорциональна разности интенсиалов (об этом уже говорилось). Применительно к силе тоже пре­дусмотрены два характерных варианта, отражающих конкрет­ные условия переноса. В первом случае сила обозначается через X, она представляет собой напор интенсиала δΡ, опре­деляемый формулой (96). Имеем

Х = - dР = - (Р_с – Р_п) (109)

Вторая конкретная сила, обозначаемая буквой Υ, пред­ставляет собой градиент интенсиала dР/dх, то есть

Y = - dP/dx (110)

Знак минус в правых частях равенств (109) и (110) сви­детельствует о том, что вещество распространяется от боль­шего значения интенсиала к меньшему, при этом разности dР и dP оказываются отрицательными. Но потоки веществ J и I, а следовательно, и силы X и Υ должны быть положи­тельными. Поэтому знак минус компенсирует отрицательные значения разностей δΡ и dP.

Заметим, что термин «термодинамическая сила», или «сила», является общепринятым в термодинамике необрати­мых процессов. Однако он ничего общего не имеет с истин­ным понятием силы. Именно поэтому упомянутый термин был заключен нами в кавычки. В дальнейшем кавычки опу­скаются, но нужно не забывать об имеющейся в этом тер­мине условности. Теперь мы располагаем уже тремя сход­ными по названию понятиями: сила, специфическая сила (интенсиал) и термодинамическая сила (разность или гра­диент интенсиала). Только первое понятие является силой в истинном смысле этого слова, два других понятия - это условные силы, они связаны с истинной силой соотношениями (94) и (97). Еще более условный смысл имеет понятие сила тока в электротехнике. Отметим также, что в принятых ра­венствах (107)-(110) по традиции в качестве опорных, эталонных использованы следующие пространственные и вре­менные характеристики: площадь F, протяженность х и время t [ТРП, стр.141-142].