Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интегрирование рациональных дробей
Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно. . Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида: . В частности при имеем только одно слагаемое: . Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида: , а при - одно слагаемое . Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие: Пример 20 . Пример 21 . Пример 22 . Пример 23 . Пример 24 . Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С …. Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида: I , III , II , , IV . Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида: , которые находятся по рекуррентной формуле: . Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители. Пример 25 . Решение. . После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей: . Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С. Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов. В результате получим: . Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители. Пример 26 . Решение. . Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла. Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные. Пример 27 . Решение. . Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента: Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества: Тогда . Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом. Пример 28 . Решение. . . Положим :
Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях: Тогда
Вопросы для самопроверки
1. Что называется первообразной? 2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла. 3. В чем заключается метод замены переменной? 4. Какие функции целесообразно интегрировать по частям? Почему? 5. Как разложить рациональную дробь на простейшие?
|