Приложение производной к исследованию функции

Оглавление

Введение 4

1 Производная функции 5

1.1 Вопросы для самопроверки 7

2 Приложение производной к исследованию функции

и построению ее графика 8

2.1 Вопросы для самопроверки 10

3 Неопределенный интеграл 10

3.1 Метод замены переменного 11

3.2 Интегрирование по частям 12

3.3 Интегрирование выражений, содержащих

квадратный трехчлен 14

3.4 Интегрирование рациональных дробей 17

3.5 Вопросы для самопроверки 22

4 Определенный интеграл 22

4.1 Основные свойства определенного интеграла 23

4.2 Правила вычисления определенного интеграла 23

4.3 Приложения определенного интеграла 25

4.3.1 Вычисление площадей плоских фигур 25

4.3.2 Вычисление объемов тел вращения 26

4.3.3 Вычисление длины дуги кривой 26

4.4 Вопросы для самопроверки 27

5 Индивидуальные задания для контрольной работы №2 27

Библиографический список 36

Введение

Целью настоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №2.

Работа содержит 9 заданий по различным разделам дифференциального и интегрального исчислений.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы [1] – [3] и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях. Большое количество образцов решенных задач дано в руководстве к решению задач [5]. Задачи для самостоятельного решения имеются как в представленных методических указаниях, так и в сборниках задач [4], [6].

Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле ,

где - номер варианта

-номер задания,

-предпоследняя цифра шифра студента,

-последняя цифра шифра.

Пример.

Пусть шифр студента 1235, тогда:

номер варианта первого задания: = ;

номер варианта второго задания: ;

номер варианта третьего задания: ;

номер варианта четвертого задания: ;

номер варианта пятого задания: ;

номер варианта шестого задания: …

Если получается число больше 20, то для определения варианта берут их разность. В нашем случае это будет 23-20=3. Следовательно, студент, имеющий шифр 1235, должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом, №20 – в пятом, №3 – в шестом и т.д.
1 Производная функции

Понятие производной функции является одним из основных в математике и широко применяется в различных областях науки и техники.

Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю произвольным образом.

.

Процедура отыскания производной называется дифференцированием функции.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (с) =0 2. (u+v) =u +v 3. (uv) =u v+uv

4. (сu) = сu 5. .

На основе этого определения могут быть выведены формулы для производных основных элементарных функций:

1. , в частности: ;

2. , в частности: ;

3. , в частности: ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. .

Особый интерес представляет производная сложной функции.

Если у=f(u), где u= , тогда у .

Пример 1 Найти производную функции: .

Решение.

Используя правило дифференцирования сложной функции, а также формулу нахождения производной степенной функции, получим:

.

Пример 2 Найти производную функции .

Решение.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций и формулами нахождения производной от показательной и логарифмической функции.

= = = =

= .

Пример 3 Найти производную функции: .

Используем правило дифференцирования дроби и формулы нахождения производной от и степенной функции.

=

Пример 4 Найти производную функции: .

Решение.

При нахождении производной неявно заданной функции продифференцируем обе части уравнения по переменной , имея в виду, что есть функция от и выразим из полученного линейного относительно уравнения.

Если функция задана параметрическими уравнениями, то ее производная по переменной находится по формуле .

Пример 5 Найти производную функции:

Решение.

Поскольку , , то

.

Пример 6 Найти производную функции: .

Решение.

Применим метод логарифмического дифференцирования, для чего логарифмируем заданное выражение по основанию «», потом дифференцируем и находим у .

.

Дифференцируем:

=

=

Находим из полученного уравнения у :

.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

2. Каковы правила нахождения производных от суммы, произведения, дроби, от постоянной величины?

3. Как найти производную сложной функции?

4. Правило дифференцирования функции, заданной неявно.

5. В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?

Приложение производной к исследованию функции