Производная обратной функции

Теорема 35. Пусть 1) функция y = y(x)

2) y(x) монотонна

3) .

Тогда 1)-3) точке и она равна .

Доказательство. Действительно и D х = , т.е. D у с одной стороны – приращение функции y=y(x), а с другой – приращение аргумента обратной функции x = x(y). Аналогично D х вытекает как приращение аргумента х и как приращение обратной функции. В силу непрерывности обеих функций имеем D y →0 óD х →0, а в силу монотонности D у ≠0óD x ≠0. Учитывая все это, получим

= .

Кратко это можно записать так: если y = y(x) и x = х (y) взаимно обратные функции и у¢ ≠ 0, то

Геометрическая интерпритация производной обратной функции.

Рис.35

= =

Геометрический смысл производной обратной функции - тангенс угла наклона касательной прямой к функции y=f(x) к оси Oy.

.

Пример 87. Найти производную обратной функции y = arcsin x.