Тема 3. Численные методы

В третьем задании необходимо реализовать заданный численный метод. Функция для обработки (интегрирование, нахождение корней и пр.) выбирается произвольно. В главной форме вводятся исходные данные, а также отображаются результаты. Результаты выводятся в числовой форме (если необходимо – в виде таблицы), а также в виде графика, который нарисован на Canvas либо в компоненте tChart.

3.1. Составить программу вычисления определенного интеграла методом средних с заданной точностью. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.2. Составить программу вычисления определенного интеграла методом трапеций с заданной точностью. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.3. Составить программу вычисления определенного интеграла методом средних с заданным шагом интегрирования. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.3. Составить программу вычисления определенного интеграла методом трапеций с заданным шагом интегрирования. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.4. Составить программу анализа погрешности вычисления определенного интеграла методом средних. Выводить на экран погрешность относительно точного значения интеграла. Для анализа использовать аналитически интегрируемую функцию. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.5. Составить программу анализа погрешности вычисления определенного интеграла методом трапеций. Выводить на экран погрешность относительно точного значения интеграла. Для анализа использовать аналитически интегрируемую функцию. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.6 Функция F(t) задает закон изменения ускорений материальной точки при прямолинейном движении. Вывести на экран таблицу, в которой представлены значения времени (с постоянным шагом), ускорений, скоростей и перемещений. Продумать разделение программы на подпрограммы.

3.7. Составить программу численного нахождения значений первой производной функции с заданной точностью. Результат выводить в виде таблицы. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.8. Составить программу численного нахождения значений первой производной функции с заданным шагом. Результат выводить в виде таблицы. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.9. Составить программу анализа погрешности численного дифференцирования функции. Результат выводить в виде таблицы. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений подынтегрального выражения проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.10. Пусть задана таблица значений функции, т.е. набор значений аргумента и функции (10..20 значений, хранить их можно в массиве). С помощью линейной интерполяции вывести значения функции для середины каждого интервала. Вычисление искомых значений оформить в виде подпрограммы – процедуры.

3.11. Пусть задана таблица значений функции, т.е. набор значений аргумента и функции (10..20 значений, хранить их можно в массиве). С помощью линейной интерполяции вывести значения функции для произвольно заданного значения аргумента, которое вводится с клавиатуры. Вычисление искомых значений оформить в виде подпрограммы – процедуры.

3.12. Составить программу решения уравнения F(x)=0 методом дихотомии. Вычисления прекратить при | F(x) | < e, где e - заданное число. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений F(x) проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.13. Составить программу решения уравнения F(x)=0 методом Ньютона (он же – метод касательных). Вычисления прекратить при | F(x) | < e, где e - заданное число. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений F(x) и F’(x) проводить с помощью подпрограмм- функций, имена которых передаются через заголовок процедуры в переменных процедурного типа.

3.14. Составить программу решения уравнения F(x)=0 методом секущих (хорд). Вычисления прекратить при | F(x) | < e, где e - заданное число. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений F(x) проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.15. Составить программу решения уравнения F(x)=0. Для поиска решения использовать метод секущих (хорд), но если на n- ом шаге решения произойдет смена знака функции (т.е. F(x_n)* F(x_n-1)<0), то окончательный результат искать методом дихотомии на интервале [ x_n-1, x_n ]. Вычисления прекратить при | F(x) | < e, где e - заданное число. Вычисления оформить как подпрограммы- процедуры, вычисление значений F(x) проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.17. Составить программу решения уравнения F(x)=0 методом дихотомии. Вычисления прекратить при | F(x) | < e, где e - заданное число. Предусмотреть случай нескольких корней на интервале поиска (метод исключения корня). Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений F(x) проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.18. Составить программу решения уравнения F(x)=0 методом Ньютона (он же – метод касательных).. Предусмотреть случай нескольких корней (метод исключения корня). Вычисления прекратить при | F(x) | < e, где e - заданное число. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений F(x) и F’(x) проводить с помощью подпрограмм- функций, имена которых передаются через заголовок процедуры в переменных процедурного типа.

3.19. Составить программу решения уравнения F(x)=0 методом секущих (хорд). Предусмотреть случай нескольких корней (метод исключения корня). Вычисления прекратить при | F(x) | < e, где e - заданное число. Алгоритм вычислений оформить как подпрограмму- процедуру, вычисление значений F(x) проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок процедуры в переменной процедурного типа.

3.20. Пусть x₁, y₁, r₁ - соответственно координаты центра и радиус первой окружности, а x₂, y₂, r₂ - то же для второй окружности. Составить подпрограмму – функцию, возвращающую координаты точки пересечения этих окружностей с максимальным значением x.

3.21. Пусть x₁, y₁, r₁ - соответственно координаты центра и радиус окружности, а a, b - коэффициенты уравнения прямой ax+b. Составить подпрограмму – функцию, возвращающую координаты той точки пересечения окружности и прямой, для которой значение y минимально.

3.22. Пусть заданы две функции F(x) и G(x); возможно, они имеют несколько точек пересечения. Составить подпрограмму - функцию, которая возвращает координаты точки пересечения с максимальным значением x. Вычисление значений F(x) и G(x) проводить с помощью подпрограмм- функций, имена которых передаются через заголовок процедуры в переменных процедурного типа.

3.23. Составить подпрограмму - функцию, возвращающую координаты максимума некоторой функции F(x). Предполагается, что максимум находится на интервале [ x_max, x_min ]. Для вычислений использовать метод золотого сечения. Вычисления прекратить при | x_max - x_min |<e. вычисление значений F(x) проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок в переменной процедурного типа.

3.24. Составить подпрограмму - функцию, возвращающую координаты минимума некоторой функции F(x). Для поиска задать начальный интервал [ x_max, x_min ], предусмотреть случай, при котором минимум не находится внутри начального интервала. Для вычислений использовать метод золотого сечения. Вычисления прекратить при | x_max - x_min |<e. Вычисление значений F(x) проводить с помощью подпрограммы- функции, имя которой передается через заголовок в переменной процедурного типа.

3.25. Танк движется из точки А по линии ОХ с постоянной скоростью V₁. Из точки В запущена противотанковая управляемая ракета, которая летит с постоянной по модулю скоростью V₂. Стрелок, управляет ПТУРом таким образом, что ракета находится на линии, соединяющей стрелка и танк (т.наз. наведение по трем точкам). Задавая V₁, V₂ и дистанцию стрельбы L найти путь, пройденный ракетой и полетное время (т.е. время от выстрела до поражения цели). Для решения использовать замену кривой на ломанную линию. (Усложненный вариант – найти максимальную нормальную перегрузку ракеты на траектории).

Рис. 2.3. К задаче 3.25.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Справочный материал к заданию 2