ПОВЕРХНОСТИ второго порядка

Определение

Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению вида:

Ax² + By² + C z ² + 2D x y +2E y z + 2F x z + 2G x + 2K y +2L z + M = 0 (1)

где A, B, C, D, E, F, G, K, L, M - вещественные числа, и хотя бы одно

из шести первых коэффициентов отлично от нуля.

Эллипсоид

Определение

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат.

Рис 1.Сечение плоскостью XOY.

Рис 2.Сечения эллипсоида координатными плоскостями XOY, YOZ, XOZ.

Рис 3.Дополнительные сечения эллипсоида

Здесь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости XOY и подобных эллипсу в плоскости XOY. Рисунок 6 дает более привычное глазу изображение эллипсоида.

Рис 4.Эллипсоид

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии центром эллипсоида. Числа a, b, c называются полуосями.

Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения.

Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей.

Если a = b, то при вращении его вокруг оси OZ получим:

Гиперболоиды

Определение

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

! Самостоятельно изучить:

Плоскости, оси и центр симметрии однополостного гиперболоида.

(стр. 253 Шипачев В.С. «Высшая математика»)

Рис 5.Сечения однополостного гиперболоида плоскостями XOY и YOZ

Рис 6.Однополостный гиперболоид

Если a = b, в этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости YOZ, вокруг оси OZ.

Рис 7.Однополостный гиперболоид вращения

Определение

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

Рис 8.Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью YOZ

Рис 9.Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Рис 10.Двуполостный гиперболоид

Если a = b, то поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости YOZ, вокруг оси OZ.

Рис 11.Двуполостный гиперболоид вращения

Конус

Определение

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

Рис 12.Сечения конуса координатными плоскостями

Рис 13.Изображение конуса с помощью сечений

Рис 14.Конус

Параболоиды

Рис 15. Эллиптический параболоид

Рис 16. Параболоид вращения

Гиперболический параболоид

Рис 17. Гиперболический параболоид

Цилиндры

Рис 18.Эллиптический цилиндр

Рис 19.Гиперболический цилиндр

Рис 20.Параболический цилиндр