Философия математики

Прокл является последователем традиционного платоновского учения, согласно которому математические предметы занимают срединное положение между миром идей и миром чувственно воспринимаемых вещей. Геометр при доказательстве теоремы указывает на начерченный параллелограмм, однако мыслит он при этом «параллелограмм вообще», не имеющий определённых пропорций и размеров. Теорема о параллелограмме только тогда заслуживает имени теоремы, когда она справедлива для всего вида параллелограммов.

Откуда берёт начало этот вид и все другие математические виды? Отвечая на этот вопрос, Прокл полемизирует с Аристотелем, который считал, что предметы математические возникают посредством отвлечения общего от предметов ощущаемых, и собирания этого общего в едином определении. Согласно Аристотелю, мы сначала видим и рисуем разные чувственно воспринимаемые параллелограммы, а потом даём общее определение параллелограмма — четырёхугольника, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны между собой. Согласно Платону наоборот, мы можем увидеть в несовершенной фигуре параллелограмм только потому, что наша душа уже обладает знанием о параллелограмме, и это знание представляет собой идеальное единство определения-логоса и образа-эйдоса. Таким образом:

«Остаётся, чтобы душа порождала математические виды и из себя, и от ума, и чтобы она сама была полнотой видов, хотя и основанных на умных образцах, но саморождённых по выпавшему им жребию. А потому душа не есть дощечка для письма, свободная от записей; но она исписана от века, пишет себя и пишется умом. Ведь душа — это и ум, ибо она разворачивает себя по уму и является образом ума и его внешним отпечатком» («Комментарии к Евклиду», 16.4—16.13).

Математическая деятельность, согласно Проклу, представляет собой особого рода движение внутри мира бестелесных логосов. Это движение происходит в двух направлениях: с одной стороны, оно начинается с внешнего припоминания и завершается постижением начал математического знания, с другой стороны, оно разворачивается от этих начал к многообразию результатов. И в познании математика то переходит от заранее известного к искомому, то идёт от искомого к заранее известному. Прокл говорит:

«Познавательные способности этой науки в целом оказались двоякими, причём одни устремляют нас к единству и свёртывают множество, а другие членят простое на разнообразное, более общее — на более частное, и начальные логосы — на вторичные и на много шагов удалённые от начал. И вот, начиная сверху, математика достигает воспринимаемого чувствами, соприкасается с природой и доказывает многое совместно с учением о природе; и так же, начиная снизу, она сближается с умственным знанием и касается созерцания первых начал» («Комментарии к Евклиду», 19.13—19.19).

Особый интерес представляет собой последовательно развиваемое Проклом учение о геометрической материи. Предмет геометрии не находится в ощущаемой материи — там невозможно найти линию без ширины, точку без частей, поверхность без толщины, круг с равными радиусами. Но он не может находиться и вне материи, в чистых логосах: ведь геометрические фигуры множественны, делимы на части, они могут быть в сравнении друг с другом большими или меньшими. Где же он тогда находится?

Решая эту проблему, Прокл следует суждению Аристотеля о том, что помимо ощущаемой материи, существует также материя воображения. И именно в этой материи воображения и находятся те геометрические образы, с которыми имеет дело геометр.

«Воображение, будучи средоточием познаний, хотя и возбуждается самим собой и производит познаваемое, однако же, не будучи вне тела, переводит познаваемое из неделимой жизни в делимое, протяжённое и имеющее фигуру, и тем самым всё, что оно ни помыслит, является отпечатком и формой мысли» («Комментарии к Евклиду», 52.20—52.26).

Мысленный круг един, потому что он существует лишь в определении, а определение не отличает один круг от другого, поскольку все они — круги. А воображаемые круги могут быть многими; мы можем представлять себе, что такие круги являются концентрическими, или касаются друг друга, или располагаются друг по отношению к другу каким-либо иным образом. Мысленный круг в некотором смысле прост, непротяжён и лишён очертаний; а протяжением, очертанием и делимостью характеризуется тот круг, с которым мы имеем дело в воображении.