Высказывания и операции над ними

Способы (правила) формального представления высказываний, построение новых высказываний из имеющихся с помощью логически выдержанных преобразований, а так же способы (методы) установления истинности или ложности высказываний изучаются в математической логике.

Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и, охватывающую ее, логику предикатов, для построения которой существуют два подхода (языка), образующих два варианта формальной логики: алгебру логики и логическое исчисление. Между основными понятиями этих языков в формальной логике имеет место взаимнооднозначное соответствие. Основными объектами традиционных разделов логики являются высказывания.

Высказыванием называется всякое утверждение, сформулированное словесно или записанное с помощью символов (формул), о котором имеет смысл говорить истинно оно или ложно.

Замечание 1.

Не являются высказываниями:

1.Вопросительные предложения.

2.Восклицательные выражения.

3.Односоставные безличные предложения.

4.Назывные предложения.

5.Повествовательные предложения с местоимениями.

6.Определения.

Замечание 2.

Определения можно переформировать в виде высказываний:

Например:

1.Если целое число делится на два, то оно четное.

2.Если стороны прямоугольника равны, то он квадрат.

Высказывание называется простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое, обычно оно не содержит логических связок.

Сложное (составное) высказывание – это высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным. Единственной существенной характеристикой каждого высказывания является его истинность либо ложность. Эту характеристику называют значением истинности.

Алгебра высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными.

Буквы, обозначающие высказывания, логические связки, скобки составляют алфавит языка логики высказываний, с помощью элементов которого можно построить разнообразные логические формулы.

Из элементарных высказываний с помощью логических операций получают новые, более сложные. Чтобы записать сложное высказывание символически, используют логические операции: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию.

Рассмотрим произвольные высказывания А и В.

Отрицанием высказывания А называют новое высказывание , истинное тогда и только тогда, когда А ложно.

Операция отрицания (инверсии) определяется истинностной таблицей:

А

Читается - «не А» или «неверно, что А».

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое сложное высказывание А В, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Операция конъюнкции (логического произведения) определяется истинностной таблицей:

А	В	А В

Читается А В - «А и В».

Дизъюнкцией нестрогой двух высказываний А и В называется новое сложное высказывание А В, истинное тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно.

Операция дизъюнкции (логической суммы) определяется истинностной таблицей:

А	В	А В

Читается А В - «А или В».

Замечание 3.

1.Дизъюнкция является нестрогой, если ее члены не исключают друг друга.

2. Дизъюнкция является строгой, если ее члены исключают друг друга.

Строгой дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое сложное высказывание А В, истинное тогда и только тогда, когда только одно из высказываний А и В истинно.

Операция строгой дизъюнкции (исключающего или) определяется истинностной таблицей:

А	В	А В

Читается А В - «А или В».

Импликацией двух высказываний А и В называется новое сложное высказывание А В, ложное тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а В ложно.

Операция импликации (логическое следствие) определяется истинностной таблицей:

А	В	А В

Читается А В - «если А, то В», «из А следует В», где А является посылкой, а В – заключением.

Замечание 4.

Между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не влияет на истинность или ложность импликации.

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется новое сложное высказывание А В, ложное тогда и только тогда, когда высказывания А и В имеют одно и то же истинное значение.

Операция эквиваленции (равнозначности) определяется истинностной таблицей:

А	В	А В

Читается А В - «А тогда и только тогда, когда В», «А эквивалентно В».

Таблица истинности для всех логических операций имеет вид:

А	В	А В	А В	А В	А В