Степени мнимой единицы

Комплексные числа

Числа вида a + bi, где a и b действительные числа, ai – мнимая единица, называют комплексными числами.

Мнимая единица число, которое обладает свойствами i² = -1.

a + bi

а - действит. часть

bi – мнимое часть

Примеры: 2 – 3i; 1-i; 0,5 + 0,1i; -8i; 5

Два комплексных числа равны, если равны их действительная и мнимая части.

Действия над комплексными числами.

1. Сложение и вычитание

При сложении комплексных чисел складываются мнимые части и действительные части

z₁ = 2 + 3i z₂ = 4 -5i

z₁ + z₂ = (2+3i) + (4 – 5i) = 2 +4 +3i – 5i = 6-2i

Вычитаются комплексные числа аналогично.

z₁ + z₂ = (4-5i) - (2 + 3i) = 4 - 2 -5i – 3i = 2 -8i

5z₁ -2 z₂ = 5(2 + 3i) – 2(3 – 5i) = 10 + 15i – 6 +10i = 4 +25i

2. Умножение комплексных чисел производится по правилу скобки на скобку

> (– 2 – 4i) ^. (3 –5i) = – 6 +10i – 12i +20i²= – 6 – 2i – 20 = – 26 – 2i

>(2 + i) ^. (1 – 3i) – (-8 +6i) = 2 – 6i + i – 3i² + 8 – 6i = 2 – 5i + 3 + 8 – 6i = 13 – 11i

Если одно комплексное число от другого отличается знаком мнимой части, то эти числа называются сопряженными.

z = a +bi и z = a-bi - cопряженные числа

3 – i ему сопряженное 3 + i

4 + 2i ему сопряженное 4 – 2i

– 6i ему сопряженное 6i

3. Деление комплексных чисел

Чтобы одно комплексное число разделить на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.

Степени мнимой единицы

i ⁰ = 1

i¹ = i

i² = 1

i³ = i ^. i² = i ( 1) = i

i⁴ = (i²)² = ( 1)² = 1

i⁵ = i^4. i¹ = 1 ^. i = i

i⁶ = i^{2 .} i⁴ = 1 ^. 1 = i

Итак

i^4k = 1; i^4k+1 = i; i^4k+2 = - 1; i^4k+3 = - i

Вычислить:

i³⁶ + i⁷³ – (i³)⁵

т.к. 36 = 4 ^. 9, то i³⁶ = 1

т.к. 73 = 4 ^. 18 + 1, то i⁷³ = i

(i³)⁵ = i¹⁵ = i¹²⁺³ = i^4*3+3 = -i

i³⁶ + i⁷³ – (i³)⁵ = 1 + i – i = 1