Примеры. 1. Функция является аналитической на всей плоскости

1. Функция является аналитической на всей плоскости . В самом деле, ;

; ;

2. Функция не является аналитической на плоскости . Действительно, здесь , , , , .

Пользуясь условиями Коши-Римана, можно восстановить аналитическую функцию, если известна ее действительная часть или мнимая часть и, кроме того, задано значение функции в некоторой точке .

Пример. Восстановить аналитическую функцию , если дана ее действительная часть , .

Решение. В силу условий Коши-Римана имеем

, (I)

. (II)

Интегрируя уравнение (II) по переменной , находим мнимую часть . Слагаемое является постоянной (относительно ) интегрирования. Дифференцируя последнее равенство по и сравнивая результат с уравнением (I), получаем

, откуда

и .

Следовательно, и , то есть . Учитывая дополнительное условие , получим: , откуда . Итак, .