Кривые и области на комплексной плоскости

Функции комплексного переменного

Кривые и области на комплексной плоскости

Областью на комплексной плоскости называют множество точек, обладающее следующими свойствами:

1) вместе с каждой точкой из этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открытости);

2) любые две точки можно соединить кривой, все точки которой принадлежат (свойство связности).

Приведем примеры кривых и областей на комплексной плоскости.

1. Где расположены точки , для которых , если – фиксированное комплексное число, ?

Решение. Пусть , .

Тогда

или .

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

2. Где расположены точки , для которых , если , ?

Решение. Так как , , то данное равенство имеет вид

= .

После несложных преобразований получим: , где , , .

Таким образом, данное равенство определяет прямую .

3. Построить линию .

Решение. Так как , то данное уравнение примет вид . Это прямая, проходящая через точку параллельно оси .

4. Неравенство определяет верхнюю полуплоскость .

5. Неравенство определяет круг с центром в точке и радиусом (рис.2).

6. Неравенство определяет круг с «проколотым» центром и радиусом (рис.3).

7. Неравенство определяет кольцо, ограниченное окружностями с центром в точке и радиусами и (рис.4).

Область называется ограниченной, если существует круг такой, что .

Ограниченная область называется односвязной, если любую замкнутую кривую, лежащую в , можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области . Примером односвязной области является область на рис. 2. Области на рис. 3 и рис. 4 не являются односвязными.

Пусть в области комплексной плоскости определена комплекснозначная функция , то есть каждой точке поставлено в соответствие комплексное число . Эту функцию можно представить в виде . Таким образом, комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных, и многие свойства действительных функций естественным образом переносятся на функции комплексного переменного.