Матрицы и метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) и матричные методы расчета неразрывно связаны. Более того, МКЭ без матриц невозможно ни излагать, ни применять.

Изложим основы метода конечных элементов для плоских стержневых систем. При определении перемещений будем учитывать только изгибающие моменты, перерезывающие силы не учитываем, нормальные силы учитываем только в расчетах устойчивости сооружений и в динамических задачах.

В общем случае уравнения движения стержневой системы записываем в матричной форме

, (5.1)

где - вектор обобщенных перемещений узлов системы, - вектор узловых обобщенных нагрузок, - матрица жесткости системы, K_G - матрица геометрической жесткости, Г – диссипативная матрица, m – матрица масс.

При статическом расчете из (5.1) имеем

. (5.2)

При расчетах на устойчивость

. (5.3)

Конструкция разбивается на отдельные элементы. Точки соединения элементов называются узлами. Таким образом, узлы являются границами соседних элементов. Перемещения в пределах элемента выражаются через обобщенные перемещения на его границах. Элементы матрицы жесткости - обобщенная сила упругости по направлению i - го обобщенного перемещения от = 1.