Статический расчет стержневых систем

Для примера составим уравнения (5.2) для одноэтажной рамы, изображенной на Рис.5.1.

Разделим раму на отдельные элементы. В качестве конечных элементов выберем стойки и ригель рамы. Таким образом, имеем три конечных элемента, соединенных в узлах, в которых сходится левая стойка с ригелем и ригель соединяется с правой стойкой. В качестве обобщенных перемещений принимаем горизонтальное перемещение ригеля Z₁, угол поворота левого узла Z₂ и угол поворота правого узла Z₃.

Элементы матрицы жесткости стержневого элемента (см. Рис.5.2) вычисляются (также как единичные реакции в методе перемещений) по формулам:

, (5.4)

где , - функции и их вторые производные по x, интерполирующие перемещения точек в пределах конечного элемента. Зададим эти функции в виде полиномов Эрмита:

;

;

.

По смыслу аппроксимирующие функции есть перемещения точек оси элемента при Z_i=1, Z_j=0 .

После подстановки (5.5), в (5.4) и вычислений находим узловые силы упругости равные узловым реакциям :

; (5.6)

где

, (5.7)

матрица жесткости стержневого элемента.

В развернутой форме уравнение (5.2) имеет вид

(5.8)

Элементы матрицы жесткости конструкции r_ij могут быть вычислены сложением элементов матриц жесткости стержневых элементов в определенной последовательности. Такой метод называется прямым методом жесткостей. На рис.5.3 продемонстрирован этот метод для системы, приведенной на рис.5.1.

На рис.5.3 показана основная система метода перемещений, дело в том, что в стержневой системе коэффициенты жесткости (элементы матрицы жесткости) равны реакциям во введенных связях основной системы метода перемещений. То есть коэффициенты жесткости можно определять так же, как единичные реакции в методе перемещений.

Для системы изображенной на рис.5.1 по формулам на рис.5.3 и по (5.7) получим

, , ,

, , ,

, , .

Верхние индексы в круглых скобках указывают на номер элемента, например, указывает на то, что вычисляется по (5.7) для k – го элемента.

Таким образом, матрица жесткости для системы на рис.5.1:

. (5.9)

Вектор узловых нагрузок для той же системы:

.

Решение уравнения (5.2) имеет вид

Обратная матрица жесткости, называется матрицей податливости

.

Матрица обобщенных перемещений для системы на рис.5.1:

.

Внутренние силы (изгибающие моменты) вычислим по формуле:

,

где - единичная матрица, столбцы которой есть ординаты эпюр изгибающих моментов от Z_i = 1, i = 1,2,3.

Составим единичную матрицу, выписав в столбцы ординаты эпюр M ₁, M ₂ и M ₃. Положительные знаки на эпюрах принимаем для ординат отложенных справа или снизу. Получим единичную матрицу :

Вычисляем расчетную эпюру изгибающих моментов:

.

На рис.5.5 показана расчетная эпюра изгибающих моментов в раме, изображенной на рис.5.1.

Пример, приведенный выше (Рис.5.1), рассчитан с помощью программы Maple10. Расчет приведен ниже:

> restart;

> K:=2*EI/L^3*<<12|3*L|3*L>,<3*L|6*L^2|2*L^2>,<3*L|2*L^2|6*L^2>>;

> PP:=<<P>,<0>,<0>>;

> Z:=K^(-1).PP;

> M:=<<-6*EI/L^2|-2*EI/L|0>,<6*EI/L^2|4*EI/L|0>,<0|-8*EI/L|-4*EI/L>,<0|4*EI/L|8*EI/L>,<-6*EI/L^2|0|-4*EI/L>,<6*EI/L^2|0|2*EI/L>>;

> MP:=M.Z;