Примеры решения задач

Задача 1. Автомобиль, двигаясь с ускорением 2 м/с², прошел 125 м за время 5 с. Определить начальную скорость автомобиля. Начертить гра­фик зависимости скорости от времени.

Решение:

Из формулы пути при равноускоренном движении получаем .

Подставляя числовые данные, имеем

График скорости равнопеременного движения является прямой линией. Для ее построения достаточно двух точек: при t = 0 V_O = 20 м/с, при t = 5 с V = 30 м/с (рис.3.1). Напомним, что V = V_O+ at.

Ответ: V_O = 20 м/с

Задача 2. Каков может быть наименьший объем баллона, вмещающего 4 кг кислорода, если его стенки при температуре 20⁰С выдерживают давление 15,7 МПа?

Решение:

Параметры состояния газа р,V,T связаны между собой уравнением Менделеева-Клапейрона: ,

где m - молярная масса, R= 8,31 Дж/(моль К) - универсальная газовая по­стоянная. Выражаем объем: ,

Ответ: V= 1,9×10^-2 м³

Задача 3. Точечные заряды q₁ = 1 нКл и q₂ = - 2 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга в вакууме. Найти напряженность и потенциал поля в точке, находящейся посредине между зарядами.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции в точке А: , j_А = j₁ + j_2,

где , - напряженности полей, созданных в точке А (см.рис.) зарядами q₁ и q₂, а j₁ и j₂ - потенциалы этих полей. Так как векторы и действуют вдоль одной прямой, можно перейти от векторной суммы к алгебраической:
Е_А= Е₁ +Е₂, где

, .

Или:

Знак заряда q ₂ мы учли, направив вектор к заряду. Потенциал является скалярной величиной. Учитывая, что второй заряд отрицателен, имеем: .

Подставляя в формулы численные значения, учитывая, что , получаем:

,

Ответ: Е_А= 108 В/м, j_А = -180 В.

Задача 4. При внешнем сопротивлении R₁ =3 Ом ток в цепи I₁=0,3А, при R₂ =5 Ом - I₂= 0,2 А. Определить ток короткого замыкания источника.

Решение:

Изобразим замкнутую цепь, содержащую источник с электродвижущей силой e и внутренним сопротивлением r, а также внешнее сопротивление R (см. рис. 3.3). Закон Ома для этой цепи имеет вид:

. (1)

Короткое замыкание - случай внешнего сопротивления R =0.

Закон Ома для этого случая имеет вид: (2)

Внутреннее сопротивление источника можно найти, применив закон Ома для двух случаев, о которых говорится в условии задачи. Для случая внешнего сопротивления R₁ запишем закон (1) в виде: I₁ R₁ + I₁ r = e (3)

При сопротивлении R₂: I₂ R₂ + I₂ r = e

Приравнивая левые части, получаем: I₁ R₁ + I₁ r = I₂ R₂ + I₂ r

Отсюда получаем расчетную формулу для r: .

ЭДС находим из выражения (3), подставляя в него найденное значение r.

После этого можно получить окончательный результат по формуле (1).

Ответ: I_к.з= 1,2 А

Задача 5. Электрическая цепь (рис. 3.4) содержит резистор сопротивлением R, катушку индуктивности L и конденсатор емкостью C и подключена к источнику переменного тока частотой v и действующим напряжением U. Постройте векторную диаграмму и найдите соотношения между действующими значениями напряжений на резисторе, катушке, конденсаторе и действующим значением силы тока в цепи. Вычислите сдвиг фаз между колебаниями силы тока и общего напряжения (на концах цепи) и потребляемую мощность.

Решение:

При протекании переменного тока в реактивных элементах – конденсаторе и катушке индуктивности - между колебаниями тока и напряжения имеется сдвиг по фазе на угол p/2, причем напряжение на конденсаторе отстает от колебаний тока на этот угол, а напряжение на катушке индуктивности опережает колебания тока. Если изображать колебания с помощью вращающихся векторов, то вектор амплитуды напряжения U_mС на конденсаторе будет повернут относительно вектора амплитуды тока I_m на угол - p/2, а вектор амплитуды напряжения U_mL на катушке индуктивности будет повернут относительно вектора амплитуды тока на угол - p/2. Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями тока, поэтому и векторы амплитуд напряжения U_{m R} и тока имеют одинаковые направления (рис. 3.5).

В последовательном колебательном контуре (рис.3.4) ток во всех элементах в каждый момент имеет одинаковые значения, поэтому векторы амплитуд напряжения на каждом из элементов на векторной диаграмме (рис.3.6) откладываем относительно одного вектора амплитуды тока. Для нахождения вектора амплитуды общего напряжения складываем векторы амплитуд на каждом из элементов. Векторы U_mС и U_mL направлены в противоположные стороны, поэтому производим сложение векторов (U_mС - U_mL) и U_{m R}. Из полученного треугольника векторов находим: . Поскольку , , , получаем: . Из последнего выражения, зная значения индук­тив­ности, емкости и сопротивления, можно найти амплитуду тока, а затем амплитуды напряжений на каждом из элементов. Циклическая частота w=2pn. Действующие значения тока и напряжений находятся по таким же формулам, в которых подстрочный индекс _m опущен. Сдвиг фаз между общим напряжением и током также найдем из треугольника векторов: . В данной цепи единственным элементом, потребляющим активную мощность, является резистор. Мощность, выделяемая в резисторе .

Ответ: , , , где ,

, .

Задача 6. Угол между плоскостями зеркал составляет a=150°. На биссектрисе на расстоянии L =20 см от линии пересечения зеркал находится точечный источник света. Найдите положения изображений источника в зеркалах и расстояние d между ними. Покажите границы световых пучков, отражающихся от зеркал.

Решение:

Изображение предмета в плоском зеркале находится за зеркалом на перпендикуляре, опущенном к зеркалу от источника, на таком же расстоянии от зеркала, что и источник (рис. 3,7). Оно формируется лучами, отраженными от зеркала (точнее, продолжениями лучей). На рис.3.7 показаны лучи, отраженные от краев правого зеркала (сплошными линиями со стрелками), и их продолжения (штриховыми линиями), пересекающиеся в правом изображении источника S₂. Треугольник DSS₁S₂ – равнобедренный, так как источник находится на равном расстоянии от зеркал, поэтому биссектриса угла a является биссектрисой угла Ð S₂SS₁=180°- a, а также высотой и медианой, а расстояние между изображениями d = S₁ - S₂ = 2BS₂. Напомним, что Ð S₂SS₁ образован перпендикулярами к зеркалам. Из прямоугольного DBSS₂ находим: BS₂ = SS₂ sin b =2SC sin b, где через b (на рис. не показан) мы обозначили ÐASC. Угол b =90°-a/2. В свою очередь, из DASC получим: SC = AS cosb = L cosb. Окончательно получаем:

d = 4L sinb cosb=2L sin2b

Ответ: d = 20 см.

Задача 7. Предмет высотой h расположен на расстоянии 1,5 F от собирающей линзы (F – фокусное расстояние линзы). Найти высоту и положение изображения и охарактеризовать его.

Решение:

Для построения изображения предмета АВ достаточно двух лучей. Луч, падающий на линзу параллельно оптической оси (АС) после преломления в линзе пройдет через фокус F по пути СА₁ (рис.3.8). Луч, направленный через оптический центр линзы (АО), не будет менять своего направления. В точке пересечения первого и второго лучей будет находиться изображение А₁ точки А. Видно, что изображение предмета является действительным, увеличенным, перевернутым и находится от линзы на расстоянии большем, чем 2 F. Расстояние от изображения до линзы ОВ₁= f может быть найдено из формулы линзы: ,

где d =OB – расстояние от предмета до линзы. Выразив отсюда f, имеем:

.

Подставив значение d =1,5 F, получим f =3 F.

Для нахождения высоты изображения Н =А₁В₁ учтем, что DАОВ и DА₁ОВ₁ подобны, следовательно, или . Подставив значения d и f, получим H=2h.

Ответ: f=3F, H=2h.