Тема: Побудова лінійної багатофакторної моделі з урахуванням мультиколінеарності

Мета заняття: Задана вибірка, отримана для факторів X_1, Х₂, Х₃ і показника Y. Необхідно:

ü знайти кореляційну матрицю;

ü використовуючи –критерій з надійністю Р=0,95 перевірити систему факторів на існування загальної мультиколінеарності;

ü у випадку існування загальної мультиколінеарності, використовуючи t-статистику виявити пари мультиколінеарних факторів; якщо такі пари існують, виключити один із цих факторів;

ü знайти оцінки параметрів лінійної регресії, результат отриманих оцінок перевірити, використовуючи сервіс: статистика/линейн;

ü використовуючи F-критерій з надійністю Р=0,95, перевiрити статистичну значущість коефіцієнта детермінації (оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним).

Якщо математична модель із заданою надійністю адекватна експериментальним даним, то:

ü використовуючи t-критерій, з надійністю Р=0,95 оцінити значущість параметрів регресії;

ü знайти значення прогнозу показника для заданих значень факторів;

ü його довірчий інтервал з надійністю Р=0,95;

ü частинні коефіцієнти еластичності для точки прогнозу.

Хід роботи

1. Завантажити програму EXCEL.
2. Вихідні даних факторів розміщуємо у блоці В3:В17, а показника в стовпці Е3:Е17 (рис.1).

Перевіримо систему факторів на мультиколінеарність, зробивши розрахунки згідно алгоритму Фаррара-Глобера:

1. Знайдемо кореляційну матрицю та розмістимо її у блоці А23:С25.

Її можна знайти нормалізуючи статистичні дані за формулою: , де n - число розглянутих періодів, m -число факторів, - середнє значення фактора Х_i, - середньоквадратичне відхилення фактора Х_i.

При нормалізації статистичних даних використаємо вбудовану функцію СРЗНАЧ (блок В21:Е21); СТАНДОТКЛОНП (блок I27:I29) і вбудовану функцію КОРЕНЬ для розрахунку у комірці А21 .

Нормалізовані статистичні дані формуємо у блоці F3:Н17 (рис.1).

(Слід зазначити, що нормалізовані статистичні дані можна знайти за формулою: ).

Для розрахунків елементів кореляційної матриці використовуємо вбудовану функцію СУММПРОИЗВ. Елемент кореляційної матриці, який знаходиться у i-му рядку та j-му стовпці, знайти таким чином: СУММПРОИЗВ стовпцянормалізованих статистичних даних i-го фактора й стовпцянормалізованих статистичних даних j-го фактора.

(Кореляційну матрицю можна знайти, використовуючи послідовно вбудовані функції: ТРАНС (блок матриці) та МУМНОЖ (блок даних першої матриці; блок даних другої матриці) за формулою , де - кореляційна матриця, - матриця нормалізованих статистичних даних блоку F3:Н17, - транспонована матриця стосовно матриці .

1. Знайдемо визначник матриці |К| і запишемо результат у комірці Е24, використовуючи вбудовану функцію МОПРЕД.
2. Обчислимо розрахункове значення критерію за формулою: , де n – об’єм вибірки (n=15), m - число факторів моделі (m=3) та розмістимо результат у комірці Е25:=-(14-11/6) *LN(E24).
3. Знайдемо табличне (критичне) значення критерію і запишемо результат у комірці E26, використовуючи вбудовану функцію ХИ2ОБР (імовірність a=0,05, число ступенів вільності k=m(m-1)/2=3(3-1)/2=3).
4. Зробимо висновки про наявність загальної мультиколінеарності (рис.2).

Визначимо мультиколінеарні пари факторів за допомогою t-статистики (критерію Стьюдента):

1. Знайдемо матрицю С, обернену до кореляційної, розмістивши результат у блоці А27:С29.
2. Розрахуємо частинні коефіцієнти кореляції між парами факторів за формулою: , де с_kj - елемент матриці С, що лежить у к-му рядку й j-ому стовпці, c_кк й c_jj - діагональні елементи матриці С, записавши отримані результати у комірки Е27:Е29 відповідно.
3. Обчислимо розрахункові значення t-статистик за формулою: , де r_kj - частинні коефіцієнти кореляції між парами факторів та запишемо отримані результати у комірки G27:G29 відповідно.
4. У комірці G26 обчислимо табличне (критичне) значення t-статистики, з використанням вбудованої функції СТЬЮДРАСПОБР (імовірність a=0,05, число ступенів вільності k=n-m-1=15-4=11).
5. Зробимо висновок про наявність мультиколінеарності між парами факторів (рис.2).
6. Виключимо один з факторів, між якими існує мультиколінеарність (у нашому випадку Х₃). Для цього у блоці F23:G24 знайдемо кореляційну матрицю факторів, що залишилися. Обернену матрицю знайдемо у блоці H23:I24 (рис.2), а визначник цієї матриці обчислимо у комірці В38, розрахункове значення Xi²- у комірці В39, а табличне (критичне) значення – у комірці В40 (рис.3).
7. 
   Порівняємо отримані результати та зробимо висновок про наявність мультиколінеарності між факторами.

Припустимо, що між показником Y і факторами X₁ й X₂ існує лінійна залежність Y=a₀+ a₁ X₁+ a₂ X_{2 .} Знайдемо оцінки параметрів, використовуючи матричні операції. Для оцінки параметрів вектора використаємо формулу .