П о л о в и н н о г о д е л е н и я

Пусть дано уравнение f (x)= 0, (1),

один из корней которого отделен, т.е. найден отрезок (а, в), на концах которого значения функции f(x) имеют разные знаки. Для нахождения корня уравнения отрезок (а, в) делится пополам и вычисляется значение функции f (x) в точке z = (а + в) / 2. Если f (z) = 0, то z является корнем уравнения. Обычно в технических задачах можно удовлетвориться приближенным значением корня. Поэтому корнем уравнения можно считать и то значение z, при котором ½f(z) ½£ e, где e - заранее назначенная малая величина, определяющая точность решения уравнения.

Если ½f(z)½> e, то рассматривается та половина отрезка (а, z) или

(z, в), на концах которой функция f (x) имеет разные знаки. Т.е. получают суженный отрезок (а , в ), где а = а в = z, или а = z, в = в. Отрезок (а , в ) снова делится пополам и проводится то же рассмотрение, что и для первоначального отрезка. В результате на каком -то этапе получают или корень уравнения (1), или последовательность вложенных друг в друга отрезков (а , в ), (а , в ),.. (а , в ),таких,что f(a ) f (в ) < 0 и в - а = (в - а) / 2 (2)

Из формулы (2) видно,что после n итераций (приближений) разность в - а может быть очень малой. Если (в - а ) £ 2 e, то координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью e.

Метод половинного деления (метод бисекций) - простой и надежный метод поиска корня уравнения f (x)= 0. Он сходится для любых непрерывных функций. Скорость его сходимости невелика. Однако алго-ритм этого метода прост и легко реализуется на компьютерах (рис.2).

На основе разобранного выше алгоритма составлена подпрограмма типа S U B R O U T I N E с именем D E L P O. Входными параметрами этой подпрограммы являются границы отрезка (а,в). Подпрограмма D E L P O выдает значение корня уравнения, значение функции f(x), и количество итераций, сделанных для достижения заданной точности корня. Величина e, определяющая точность решения уравнения, вводится с клавиатуры. Ре-шаемое уравнение содержится во внешней функции F (x), подпрограммы D E L P O. Текст подпрограммы представлен в приложении 2.

Исходные данные и результаты расчетов выводятся на экран дисплея и записываются в стандартный файл f t 0 7 f 0 0 1 на диск с помощью специиальной подпрограммы I D R E S, текст которой представлен в приложении 2.

Таким образом, решение нелинейных уравнений методом бисекций можно свести к составлению главной программы, вызывающей три опи-санные выше подпрограммы, и составлению подпрограммы вычисления функции F (x). Образец главной программы приведен в приложении 2.

Рис.2