Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дифференциальное исчисление
Основные понятия и свойства:
Определение 1.(Алгебраический смысл производной).
Производной функции y = f(x) в данной точке х называют предел отношения приращения функции Δу к соответствующему приращению аргумента Δх при условии, что приращение аргумента стремится к 0, т.е.
у΄ = f ΄(x) = lim Δy /Δx.
Δx → 0
Геометрический смысл производной:
Значение производной функции y = f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке х, т.е.
k = f ΄(x) = tg φ, где φ – угол наклона касательной.
Физический смысл производной:
Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.
Определение 2: Нормалью называется прямая, проходящая перпендикулярно касательной в ее точке касания.
Уравнение касательной: y – y0 = y' (x0)(x – x0).
Уравнение нормали: y – y0 = -1/ y'(x0) * (x – x0).
Правила дифференцирования:
1) С' = 0 4) (Cu)' = C u', С - постоянная
2) (х)' = 1 5) (uv)' = u'v + v 'u
3) (u + v - w)' = u' + v ' – w ' 6) (u/v)' = (u'v – v 'u) / v²
7) y(g(x)) = y'(g)×g'(x)
Производные основных элементарных функций:
n n – 1
1) (x) = n (x), 7) (sin x)' = cos x,
 | |
2) (√ x)' = 1/2√x, 8) (cos x)' = - sin x,
x x
3) (a)' = a × ln a, 9) (tg x)' = 1/ cos² x,
x x
4) (e)' = e, 10) (ctg x)'= - 1/ sin² x.
5) (ln x)' = 1/x,
6) (log a x)' = 1 / (x lna),
Треугольник Паскаля:
1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
-14-
Теорема1 (Правило Лопиталя): Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы вблизи а, непрерывны в точке а, g' (a) ≠ 0 и f(a) = g(a) = 0 (или = ∞), то предел отношения функции f(x) к функции g(x) в точке а равен пределу отношения их производных в этой точке, т.е.
lim f(x) / g(x) = lim f '(x) / g'(x).
x → a x → a
Определение 3: Точка хо называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство
f(x) < f(xo) (f(x) > f(xo)).
Теорема 2 (необходимый признак экстремума): Если хо является точкой экстремума функции y = f(x) и производная в этой точке существует, то оно равна нулю: f '(xo) = 0/
Теорема 3 (признак экстремума (через производные высших порядков)): Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки хо n раз непрерывно дифференцируема и пусть первая, вторая… (n-1) производная функции в этой точке равны нулю, а n-я производная функции в этой точке отлична от нуля. Если n – нечетно (нечетный порядок производной), то точка хо не является точкой экстремума. Если n – четно, то хо – точка экстремума, при чем: если производная принимает положительное значение, то хо – точка минимума, если отрицательное, то точка максимума.
Определение 4: Пусть в точке хо кривая y = f(x) имеет касательную, не параллельную оси Оу (т.е. функция дифференцируема в этой точке). Кривая называется выпуклой в точке хо, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведенной в точке хо. Кривая называется вогнутой, если соответственно расположена выше касательной.
Теорема 4 (признак вогнутости и выпуклости): Если вторая производная функции y = f(x) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна, то кривая выпукла в этом промежутке.
Определение 5: Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
Уравнения асимптот:
х = а – вертикальной асимптоты
y = b – горизонтальной асимптоты
y = kx + b, где k = lim f(x)/x, b = lim (f(x) – kx) - наклонной асимптоты.
х→∞ х→∞
-15-
ЗАДАЧИ:
1. Найти 1-ю производную следующих функций:
а) у = (3 – х)/x²; и) y = x²sinx;
б) у = 4/x² - 1/x³ + 4x – 6; к) y = x²(5 - 4x + x³);
в) у = (9 - х²)³; л) y = ln²sin4x;
г) y = 2sin 5x; м) y = (cos3x – 2)³;
5x
д) y = sin²3x; н) y = 4 e - 3/x³ + 1;
е) y = log 5 x; 3x
ж) y = ln x³; o) y = 2 + 5.
2. В какой точке нормаль к кривой у = х² - 1 образует с осью Ох угол 45°?
3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у = 2х³ - 4х в точке (1; -2).
4. Найти угол под которым касательная и нормаль, проведенные к графику функции y = f(x) в точке хо пересекают ось Ох, если:
а) y = √x +5x, xo = 4; б) y = sin 3x – 2x, xo = 0.
Составьте уравнения прямых.
5. Найти угол наклона нормали, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x:
2x
а) y = -x³ + 4, x = 1; б) y = lnx -2x, x = ½; в) y = e +x, x =0.
6. Под каким углом парабола y = x²/2 пересекается с прямой 3х – 2у – 2 = 0?
7. Найти производную функций 3-го порядка:
2x x -x
а) y = e; в) y = ln x; д) y = e × cos x; ж) y = 2 / x;
б) у = sin²x; г) y = cos 5x; е) y = x lnx; з) y = x² lnx.
8. Найти производную 4-го порядка:
а) y = x³/ (2-x); б) y = sin x × ln x; в) y = x² cos x.
9. Вычислить пределы:
а) lim (sin 7x / tg x); в) lim 4ⁿ / (2n); д) lim (2ⁿ -4) / (n -2);
x → 0 n → ∞ n → 2
б) lim (ln x / x); г) lim (ln n + n²) / e²ⁿ; е) lim n /(eⁿ - 1).
x → ∞ n → ∞ n → 0
10. Исследовать функции на экстремум с помощью производных высших порядков:
4 2 2 4 -х
а) у= х - 8х; г) у = 2х - х; ж) у = х²е;
б) у = 2х³ + 6х² - 18х + 120; д) у = (4х)/(1 + х²); з) у = lnx/х;
4 4 3 х
в) у = (3х + 1)/х³; е) у = 3х - 4х; и) у = х е.
11. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость:
а) у = х³ - 3х² + 1; в) у = х³ - 3х² - 9х + 11; д) у = (х – 1)³; ж) у = (х² +4)/х.
4 2 8
б) у = - х³ + 3х²; г) у = х - х; е) у = (2 – х);
12.Исследовать функции и построить их графики:
а) у = х³ -12х + 4; в) у = 1/3х³ - 2х²; д) у = х/(9 + х²);
б) у = 2х³ - 6х; г) у = 1/(1+х²); е) у = ln(х² +1).
-16-
5. Интегральное исчисление:
Основные понятия и свойства:
Определение1: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство F΄(x) = f(x).
Определение 2: Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом: ∫ f(x) dx, где f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение,
x – переменная интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. ∫ f(x) dx)΄ = f(x).
2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е. ∫ mf(x) dx = m ∫ f(x) dx.
3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. ∫(f(x) ± φ(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫φ(x) dx.
4. ∫ f (kx + b) dx = 1/k F(kx +d) +C
Определение 3: Если F(x) + C – первообразная функция для f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x = a до x = b называется
b
определенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x) dx, т.е.
b a
∫ f(x) dx = F(b) – F(a)
a
где a – нижний предел, а b – верхний предел определенного интеграла.
B b
∫ f(x) dx = F(x)│= F(b) – F(a) формула Ньютона – Лейбница.
A a
Основные формулы интегрирования:
n n+1
1. ∫ х dx = (x) / (n +1) + C при n ≠ -1
х x
2. ∫ е dx = e + C
x x
3. ∫ a dx = a / ln a + C
4. ∫ (dx) / х = ln |x| + C
5. ∫ cos x dx = sin x + C
6. ∫ sin x dx = - cos x + C
Определение 4: дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или ее дифференциалы.
Определение 5: Уравнение вида f(x)dx + φ(x) = 0 называется уравнением с разделенными переменными.
-17-
Определение 6: Уравнение вида f(x)F(x) + φ(x)Ф(х) = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.
Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:
1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.
2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.
3. Разделяют переменные.
4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.
5. если заданы начальные условия, то находят частное решение.
Определение 7: Уравнение вида у' + ру = q, где р и q – функции переменной х или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли:
1. Приводят уравнение к виду у' + ру = q.
2. Используя подстановку у = uv, находят у' = u'v + v'u и подставляют эти выражения в уравнение.
3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций v или u за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.
5. записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций v и u в равенство у = uv.
6. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.
ЗАДАЧИ:
1. Вычислите неопределенный интеграл, применяя формулы интегрирования:
а) ∫(х3 + 1) / х dx б) ∫(x2 + x + 5) / 2x dx
в) ∫ (x5 + 3ex)dx г) ∫ (x3 + 2x) dx
д) ∫е3х dx е) ∫ (2/х + 8ех +5х – х-3/5)dx
ж) ∫sin3x dx з) ∫cos (5 – 2x)dx
2. Выполните интегрирование способом подстановки (заменой переменной)
а) ∫ sin x cos x dx б) ∫ sin2x cos x dx
в) ∫ cos 3x dx г) ∫ tg x dx
д) ∫ (2х +3)4dx е) ∫ (9 – 2х3)4 х2 dx
3. Вычислите интеграл способом интегрирования по частям:
а) ∫ х cos x dx в) ∫ х е2х dx
б) ∫ х sin x dx
4. Вычислите площади фигур, ограниченных заданными линиями:
а) у = -х2 + 4, у = 0;
б) у = 1/х, у = 0, х = 1, х = 3;
-18-
в) ху = 6, х + у – 7 = 0
5. Решить дифференциальное уравнение с разделенными переменными:
а) уdу + хdх = 0; б) 2уdу = 3х2dх;
в) dу/у = dх /(х – 1); г) ехdх = уdу.
6. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (найти общее решение):
а) у' = ху2;
б) х 2dу + у 2dх = 0
в) (1 + х2)dу -2хуdх = 0;
г) 1 + у' + у + ху' = 0
д) хdу + 2уdх = 0;
е) у' – у – 1 = 0.
7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка методом Бернулли:
а) у' – (3/х) у = х;
б) у' + у tgх = cos2х;
в) у' + 2у/х = х2, х≠0.
-19-
Date: 2015-09-25; view: 1381; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |