Аналитическая геометрия

Колледж ландшафтного дизайна № 18

Основы высшей математики.

(Учебное пособие для студентов 2-го курса СПО)

Аналитическая геометрия.

Основные понятия и свойства:

Определение 1: Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из точек А и В считается началом, а какая концом отрезка.

Определение 2: Величиной АВ направленного отрезка называется вещественное число, равное длине отрезка, если направления отрезка и оси совпадают, и равное числу противоположному длине, если эти направления противоположны.

Основное тождество: Для любых точек А, В, С на оси справедливо равенство: АВ + ВС = АС.

Определение 3: М – произвольная точка на координатной прямой. Координатой точки М называется вещественное число х, поставленное в соответствие точке М, равное величине ОМ направленного отрезка.

Теорема 1(величина направленного отрезка): Для любых точек М1 (х1) и М2 (х2) на координатной прямой всегда справедливо равенство М1М2 = х2 – х1.

Определение 4: М – произвольная точка в прямоугольной системе координат.

Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков – проекций точки на соответствующую координатную прямую.

Теорема 2 (расстояние между точками): Для любых точек М1(х1;у1) и М2(х2;у2) всегда справедливо равенство:

d = (х2 – х1)² + (у2 – у1)²

Теорема 3 (площадь треугольника): Треугольник АВС задан координатами его вершин: А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3). Площадь треугольника находим по формуле:

S = ½ ((x2 –x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1)).

Теорема 4 (деление отрезка в данном отношении): Точка М(х;у) делит отрезок М1М2 в отношении л. Координаты точки М определяются по формуле:

Х1 + лХ2 У1 + лУ2

Х = 1 + л У = 1 + л

-1-

Определение 5: М - произвольная точка в полярной системе координат. Полярными координатами точки называется упорядоченная пара чисел (р;а), где

р (полярный радиус) – расстояние от точки до полюса, а (полярный угол) – угол между полярной осью и лучем ОМ (О – полюс).

Формулы перехода от одной системы координат к другой:

p = x² + y² x = p cosa

tg a = y/x y = p sina.

Виды уравнений прямой:

Каноническое уравнение: Ах + Ву + С = 0;

Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом: у = кх + в;

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющий данный угловой коэффициент: у – у1 = к (х – х1);

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: у – у1 х – х1

у2 –у1 = х2 - х1

Уравнение прямой в отрезках: х/а + у/в = 1.

Взаимное расположение прямых: k2 – k1

Угол между двумя прямыми: tga = 1 + k1k2

Прямые параллельны k1 = k2;

Прямые перпендикулярны k2 = -1/k1.

Теорема 5(расстояние от точки до прямой): Точка плоскости М(х0;у0) удалена от прямой Ах + Ву + С = 0 на расстояние d. Тогда Ах0 + Ву0 + С

d =

А² + В²

Определение 6: Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса: Х²/А² + У²/В² = 1.

Определение 7: Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы: Х²/А² - У² /В² = 1.

Определение 8: Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы: У² = 2рХ (Х² = 2рУ).

-2-

ЗАДАЧИ:

1. Даны точки А(-5), В(4), С(-2). Найдите величины АВ, ВС, АС соответствующих направленных отрезков.

2. Найдите величину АВ и длину /АВ/ соответствующего направленного отрезка, заданного следующими точками:

а) А(3), В(11) в) А(-5), В(-3)

б) А(-1), В(3) г) А(1), В(-3)

3. Даны точки А(0;0), В(3;-4), С(-3;4). Найдите расстояние между точками

а) А и В; б) В и С; в) А и С.

4. На оси абсцисс найти точку, которая находится на расстоянии 5 единиц от точки М(1;3).

5. Вычислите площадь и периметр треугольника, вершинами которого являются точки:

а) А(2;-3), В(3;2), С(-2;5); б) М(3;-4), N(-2;3), Р(4;5).

6. Площадь треугольника равна 3, две его вершины – точки А(3;1) и В(1;-3). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси ординат.

7. Найдите ординату точки С, если известно, что площадь треугольника АВС равна 15 кв.ед. Координаты вершин треугольника А(-2;1), В(2;2), С(4;у).

8. Точка К делит отрезок МN в отношении |MK|: |KN| = 2: 3. Найти координаты точки К, если М(7;4), N(-3;9).

9. Отрезок, ограниченный точками А(1;-3) и В(4;3) разделен на три равные части. Определите координаты точек деления.

10. Найдите длины медиан треугольника АВС, если А(2;-1), В(-2;-3), С(2;5).

11. Точка В делит отрезок АС в отношении 6: 3. Найдите координаты точки С, если А(2;-3) и В(-4;1).

12. Началом отрезка служит точка А(-3;-5), а серединой – точка С(3;2). Найти координаты конца отрезка, точки В.

13. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС, если

А(-2;1), В(2;-1), С(4;3).

14. Построить точки, заданные полярными координатами:

А(2; П/2), В(3; П/4), С(3; 3П/4), D(4;0), F(2; 3П/2), Р(3;П).

15. В прямоугольной системе координат даны точки М(0;5), Р(-3;0), К(-1;1),

Т(2:-3). Найдите их полярные координаты.

16. В полярной системе координат даны точки А(8; П/2), В(4; -П/4), С (2; П/6). Найдите их прямоугольные координаты.

17. Прямая задана общим уравнением. Написать ее уравнение с угловым коэффициентом:

а) 2х – 3у + 5 = 0; б) 3х + 5у – 1 = 0; в) 12х -5у -65 =0

18. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок в=3 и образующей с осью Ох угол а=П/6.

19. Построить прямую, заданную уравнением:

а) у = ¾ х + 2; в) у = -3/7 х – 5;

б) у = 5/2 х - 4; г) у = -2 х + 3.

20. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2;1) и образующей с осью Ох угол а = П/4.

21. Составить уравнения прямых, заданных двумя точками:

а)А(1;3), В(4;1); б) С(-1;5), D(3;-7); в) М(-3;0), N(0;5).

-3-

22. Составить уравнения медиан треугольника АВС, где А(7;0), В(3;6), С(-1;1).

23. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В((2;4), С(4;0). Составить уравнения стороны ВС, медианы АЕ, высоты АD.

24. Привести уравнения к виду уравнения прямой «в отрезках» и построить прямые: а) 2х + 5у +20 = 0; в) 6х + у -3 = 0;

б) 3х – 4у – 12 = 0; г) х – 8у + 4 = 0.

25. Определить взаимное расположение прямых:

а) 5х – у +4 = 0 и 10х – 2у + 1 = 0; г) 2х – у + 1 = 0 и х – 2у + 1 = 0;

б) 3х + 2у + 3 = 0 и 3х – 2у – 1 = 0; д) 5х – у + 4 = 0 и х + 5у – 1 = 0;

в) 5х – 3у + 1 = 0 и 15х + 9у – 7 = 0; е) 3х + 2у +17 = 0 и 2х – 3у + 8 = 0.

26. Найти угол между прямыми:

а) у = 2х – 3 и у = х/2 + 1;

б) 5х –у + 7 = 0 и 2х – 3у + 1 = 0;

в) 2х + у = 0 и у = 3х – 4.

27. Найти углы треугольника, заданного вершинами А(-6;-3), В(6;7), С(2;-1).

28. Найти угол между прямыми, если одна из них проходит через точки А(4;2) и В(1;-7), а вторая – через точки М(-1;3) и Т(8;6).

29. Составьте уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6;2) на прямую х – 4у - 7 = 0.

30. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(-4;3) и параллельной прямой х + 2у +3 = 0.

31. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой 3х – 5у + 2 = 0.

32. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2;3) и параллельной прямой 4х + 3у – 12 = 0.

33. Составить уравнение перпендикуляра к отрезку МР, где М(7;3) и Р(-3;2), проходящего через его середину.

34. Найдите расстояние от точек А(4;3), В(2;1), С(4;0), О(0;0) до прямой

3х + 4у – 10 = 0.

35. Покажите, что прямые 2х – 3у – 6 = 0 и 4х - 6у – 25 = 0 параллельны и найдите расстояние между ними.

36. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

4х + 3у = 7 и 3х + 2у = 5 и составляющей тот же угол с осью Ох, что и прямая

2х + у = 5.

37. Найдите длину высоты СК треугольника с вершинами А(-1;3), В(4;-2), С(0:1), составьте ее уравнение. Какой угол образует высота СК со стороной СА?

38. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2;4) и удаленной от начала координат на расстояние d = 2.

39. Приведите данное уравнение к каноническому виду, найдите координаты фокусов, длины осей и изобразите кривую:

а) 3х²+ 16у² = 192; в) 16 х² – 25 у² = 400; г) 16х²– 9у²= 144;

б) 3х² – 4у² =12; г) 2х²+ у² = 32; д) 9х² + 25у² = 225.

40. Составьте уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между ее вершинами равно 16 и фокусы ее находятся в точках (-10;0), (10;0).

41. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2в = 6, а расстояние между фокусами | F1F2| равно 8.

-4-