Нием координат

Пусть Е^п евклидово пространство с ортонормированным базисом и, F(x) – некоторая квадратичная форма с матрицей в базисе и и f(x,у) – соответствующая симметричная билинейная форма с матрицей = . Рассмотрим линейный оператор j с матрицей = . Так как матрица - симметричная, то j - самосопряженный линейный оператор, j* = j. По теореме о структуре самосопряженного линейного оператора в Е^п существует ортонормированный базис и¢, в котором матрица оператора j диагональна:

= diag(l₁,l₂,…,l_n). Пусть Т = . Тогда Т – ортогональная

матрица (так как по столбцам матрицы Т стоят координаты векторов из ортонормированного базиса и¢), и, значит,

Т ^-1=Т ^t . Но = Т ^t Т = Т ^-1 Т = = diag(l₁,l₂,…,l_n). Следовательно, если в базисе и¢ вектор v имеет координаты (y₁,y₂,…,y_n), то форма F имеет канонический вид,

F(v)=l₁y₁²+l₂y₂²+…+ l_ny_n². Соответственно, если в этом базисе вектор w = (z₁,…,z_n), то f(v,w)=l₁y₁z₁+l₂y₂z₂+…+l_ny_nz_n. Таким образом, нами доказана

Теорема. Для любой квадратичной формы F(x) в евклидовом пространстве Е^п существует ортонормированный базис и¢, в котором форма F имеет канонический вид. Это означает, что существует ортогональная матрица Т перехода к новому базису u¢, в котором матрица формы F диагональна:

Т ^t Т = = diag(l₁,l₂,…,l_n). Канонический вид формы F определен однозначно с точностью до перенумерации коэффициентов l₁,l₂,…,l_n.

Следствие 1. Квадратичная форма F ортогонально эквивалентна форме, имеющей канонический вид (см. п.24.5).

Следствие 2. Две квадратичные формы канонического вида ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты l₁,l₂,…,l_n отличаются, может быть, лишь порядком.

Следствие 3. Две квадратичные формы ортогонально эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы даже в различных ортонормированных базисах имеют одинаковые характеристические многочлены.

Так как коэффициенты l₁,…,l_n формы F – это собственные значения линейного оператора j, то найти их можно, решая характеристическое уравнение для матрицы = ,

то есть уравнение det( -lE) = 0. Векторы базиса

и¢ = {и¢₁,…, и¢_n} – это собственные векторы линейного оператора j, и найти все и¢_i можно, решая однородные системы линейных уравнений ( - l _iE) [ x ] = [ 0 ]. Различным собственным значениям соответствуют ортогональные друг другу собственные векторы, и, если dim Ker( - l _iE) = 1, то найденный вектор необходимо лишь нормировать, то есть разделить на его длину. Если же имеются одинаковые собственные значения, то есть кратные корни l_i характеристического уравнения, то dim Ker( - l _iE)> 1, и найденную фундаментальную систему решений для СЛУ ( - l _iE) [ x ] = [ 0 ] необходимо ортонормировать, например, по Граму-Шмидту.