Будь-яка рівноважна конфігурація статичних точкових електричних зарядів нестійка, якщо на них не діють сили, які відрізняються від кулонівських

Зрозуміло, що підбираючи взаємне розташування і величину зарядів можна досягти рівноваги, але вона буде нестійкою. Теорема Ірншоу є простим наслідком теореми Гаусса в електростатиці. Її доказ проведемо методом від супротивного. Припустимо, що в системі зарядів, де діють тільки кулонівські сили, вдалося створити рівноважне, стійке розташування. Для рівноважності системи точкових зарядів необхідно і достатньо, щоб сила, яка діє на кожний заряд, дорівнювала нулю.

Стійкість рівноваги означає, що якщо ми виведемо зі стану рівноваги будь-який заряд, наприклад, розташований в точці А, то на нього діятимуть сили, які повертають заряд назад в точку А. За умовою це – кулонівські сили, ніяких інших сил немає, тобто інші заряди в області точки А утворюють електростатичне поле , яке направлене або до точки А, або від неї, в залежності від знаку заряду, який зміщується. При цьому сам заряд із точки А в утворенні цього поля участі не приймає.

Оточимо точку А замкнутою поверхнею, всередину якої інші заряди (крім того, що знаходиться в точці А) не попадають. Оскільки електростатичне поле в точці існує, отже існує і відмінний від нуля потік вектора напруженості електростатичного поля

.

За теоремою Гаусса потік вектора напруженості електростатичного поля через цю поверхню дорівнює помноженій на алгебраїчній сумі зарядів всередині цієї поверхні, які створюють це поле.

.

Але всередині поверхні зарядів, що створюють поле, немає (заряд в точці А не приймаємо до уваги, тому що він не створює поле у точці А), тобто

.

Ми одержали суперечність із теоремою Гаусса, що і доводить теорему Ірншоу.

Зрозуміло, що при наявності некулонівських сил, стан стійкої рівноваги можливий. Згадаємо, наприклад, відомий дослід з двома однаково зарядженими кульками, які підвішені в полі сил тяжіння на нитках, що не проводять. Таку задачу ви будете розв’язувати на семінарах. Сила кулонівського відштовхування врівноважиться некулонівськими силами тяжіння і пружності нитки, і рівновага буде стійкою. Відхилення викличе зміну сили, що діє збоку нитки, і система повернеться у вихідний стан.

А як бути із абсолютним вольтметром? У ньому діє некулонівська сила тяжіння, а рівновага все одно нестійка? В абсолютному вольтметрі також діє сила тяжіння, але вона стала і тому не може зашкодити нестійкості рівноваги. Щоб відслідковувати флуктуації, сила, яка врівноважує систему зарядів, повинна бути змінною.

Теорема Ірншоу робить безперспективними всі моделі атома, що складаються з системи статичних зарядів, як це намагався зробити Джозеф Джон (Джи-Джи) Томсон (не плутайте із лордом Кельвіном). В його моделі атом являє собою область, яка заповнена додатнім зарядом і в яку включені точкові електрони, які компенсують додатній заряд. Хоча ця модель пояснює деякі оптичні властивості атома, від неї належить відмовитися на основі теореми Ірншоу, бо такий статично заряджений об’єкт неможливий.

До речі, виникає слушне питання, чи не можна запропонувати динамічну модель атома? Такою моделлю є планетарна модель атома, запропонована Резерфордом і Бором. Згідно із цією моделлю електрони обертаються навколо ядра аналогічно планетам, що обертається навколо Сонця. Але і ця модель виявилась нестійкою. За законами класичної електродинаміки, яку ви будете трохи пізніше вивчати, заряд, який рухається із прискоренням, випромінює електромагнітні хвилі. Неперервно витрачаючи енергію на випромінювання, електрон повинен впасти на ядро.

Тобто, класична фізика виявилась безсилою пояснити стійкість атому. Це вдалося зробити лише у рамках квантової механіки (чекає на вас попереду).

А ми переходимо до наступної теми