Знаходження розподілу потенціалу методом електричних зображень

Давайте подивимось, як властивість металу збирати заряд на своїй поверхні, допоможе нам розв’язувати деякі електростатичні задачі. Методи, якими ми будемо користуватись, є штучними. Складну задачу ми будемо зводити до відомої, вже розв’язаної. І перший з цих методів – метод електричних зображень.

Нехай у просторі є сукупність точкових зарядів. Вони створюють у просторі певний розподіл електростатичного поля. Виділимо одну еквіпотенціальну поверхню. (Нагадую, що силові лінії поля перпендикулярні еквіпотенціальним поверхням). Вона розділить простір на два півпростори. В одному заряди , а в другому – .

Візьмемо тонку фольгу, вигнемо її по формі еквіпотенціальної поверхні і зарядимо до потенціалу поверхні. Це ніяким чином не вплине на розподіл поля по обидві боки від фольги. Силові лінія поля будуть і далі перпендикулярними фользі, але розподіли поля у півпросторах стали абсолютно незалежними. Якщо ми заллємо провідником весь правий підпростір, розподіл поля у лівому не зміниться.

Поле ліворуч буде складатись із геометричної суми полів зарядів і полів зарядів, індукованих ними на поверхні провідника. А це індуковане поле еквівалентно полю, створеному зарядами внаслідок теореми про єдиність розв’язку рівняння Пуассона. Зверніть увагу, ми маємо дві еквівалентні задачі: поле зарядів над поверхнею провідника і поле сукупності зарядів, частина яких може бути замінена провідником. Сукупність цих зарядів має назву електричного зображення зарядів у еквіпотенціальній поверхні.

Тепер ми можемо вибирати, яку задачу із двох еквівалентних нам простіше розв’язати. Найчастіше виникає потреба знайти розподіл поля зарядів над поверхнею провідника. Згідно із розглянутим нами методом, вона зводиться до пошуків електричного зображення зарядів відносно еквіпотенціальної поверхні, якою є поверхня провідника.

Найпростіше проілюструвати це на прикладі одного точкового заряду над поверхнею провідника. Треба знайти розподіл електричного поля точкового заряду над поверхнею провідника.

Точковий заряд індукує у провіднику заряд . Цей заряд якимось чином розподілений по поверхні, ми про це вже багато разів говорили. Поверхня провідника є еквіпотенціальною поверхнею . Щоб розв’язати задачу, застосуємо штучний прийом. Розглянемо поле, яке створюють два однакових за величиною, але різнойменних заряди. Така задача розв’язується дуже легко. На рисунку наведений розподіл еквіпотенціальних поверхонь у такій системі. Важливо, що одна з них пряма, що проходить між ними (Спитати: це буде завжди? Ні, це буде тільки тоді, коли заряди однакові за величиною). Оскільки потенціал визначається із точністю до адитивної сталої, ніхто не забороняє вважати нам потенціал цієї поверхні рівним . Детально розв’язувати таку задачу ви будете на семінарі. Але головним тут є, що знайшовши розподіл електричного поля системи двох зарядів, ми автоматично розв’язали і задачу про розподіл поля точкового заряду над поверхнею провідника. Це буде та частина розподілу, що міститься праворуч від еквіпотенціальної поверхні системи двох зарядів. І ще раз нагадаю, що випливає це із теореми єдиності розв’язку рівняння Пуассона, тобто саме такий розподіл поля створити іншою конфігурацією зарядів неможливо.

На семінарах ви розглянете і більш складні задачі, які, нагадую, можуть зустрітись на екзамені.