Затухающие механические колебания

Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.

Получим дифференциальное уравнение затухающих крутильных колебаний. Чтобы выяснить, как изменяется со временем угол j (t) запишем основной закон динамики вращательного движения

, (1)

где: J – момент инерции бруска, – угловое ускорение,

– момент сил упругости, – момент сил сопротивления.

Уравнение (1) спроектируем на ось OZ

,

где: – проекция углового ускорения,

– проекция силы упругости,

k – коэффициент упругости,

– проекция силы сопротивления (эта формула справедлива для малых скоростей вращения),

– угловая скорость,

r – коэффициент сопротивления.

Уравнение (1) в скалярной форме примет вид

,

.

Обозначим – коэффициент затухания и – циклическая частота собственных колебаний, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(2)

Решением уравнения (2) при малом затухании w ₀ > b является уравнение затухающих колебаний

(3) Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени

,

здесь А ₀ – амплитуда в начальный момент времени t = 0.

Рис.2.

График затухающих колебаний.

Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты

.