Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Заставим материальную точку участвовать в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y, тогда она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотношения частот, так и от разности фаз обоих колебаний.

1) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы, а уравнения колебаний имеют вид

, (1)

где: и – амплитуды складываемых колебаний вдоль осей X и Y;

a – разность фаз складываемых колебаний (Δ j = a).

Система (1) представляет собой уравнение искомой траектории в параметрической форме.

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим параметр t из системы. Для этого разделим каждое уравнение системы на соответствующую ему амплитуду и получим

Используя тригонометрическое тождество

,

получим

.

Затем подставим

,

и получим

или

.

Последнее уравнение возводим в квадрат и преобразуем

,

,

.

Учитывая что , получим

(2)

Из аналитической геометрии следует, что уравнение (2) это уравнение эллипса с произвольно ориентированными осями, вписанного в прямоугольник со сторонами 2 a и 2 b, ограничивающего пространство, в котором совершаются колебания (рис. 2). Ориентация относительно осей зависит от разности фаз .

2) Рассмотрим частные случаи уравнения (2)

А) Пусть a = 0, тогда cos a = 1, sin a = 0 и уравнение (2) примет вид

,

,

,

(3)

Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из первой четверти координатной плоскости в третью четверть (рис. 3). Амплитуда такого колебания равна

. (3 а)

Б) Пусть a = p, тогда

cos a = –1, sin a = 0 и уравнение (2) примет вид

,

,

,

. (4)

Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из второй четверти координатной плоскости в четвертую (рис. 4). Амплитуда такого колебания равна (3 а).

В) Пусть , тогда cos a = 0, sin a = ±1 и уравнение (2) примет вид

. (5)

То есть точка движется по эллипсу (рис. 5), оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны a и b.

При этом, если , то точка движется по часовой стрелке, если , то против часовой стрелки.

Г) Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину Δ w, то можно считать, что они происходят с одинаковой частотой, а разность фаз медленно меняется по закону

.

В этом случае траектория будет медленно меняться, последовательно проходя все этапы, показанные на рис. 2 ¸ рис. 5.

3) Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний отличаются в два раза, например , .

Система уравнений (1) примет вид

Используя формулу косинуса двойного угла, получим уравнение параболы (рис. 6)

(6)

4) В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы и кратны

,

то траектории результирующего движения имеют вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Эти фигуры вписаны в прямоугольник 2 a ´2 b, ограничивающий колебания по осям XиY. При этом количество точек пересечения фигуры Лиссажу и оси X равно m, а количество точек пересечения оси Y равно n.