Примерные задания, выносимые на устный экзамен

1. Дана функция .

а) Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции.

б) Найдите промежутки вогнутости и точки перегиба функции.

в) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

2. Найдите уравнения асимптот графика функции: ; .

3. Найдите первые три члена разложения в ряд Маклорена функции .

4. Найдите экстремумы функции .

5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной линиями

6. Решите задачу условной оптимизации функции двух переменных

7. Выясните, является ли функция первообразной для функции .

8. Найдите первообразную для функции , учитывая выполнение равенства .

9. Вычислите неопределенные интегралы:

а) , , , ;

б) , , , , ;

в) , , , , ;

г) , , , ;

д) , , , , , , , , , , ; ; ; ; ; ; ; ;

10. Вычислите определенные интегралы:

а) , , , , , , , , , , .

11. Вычислите площадь фигуры, ограниченную линиями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

12. Вычислите объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс:

а) ;

б) .

13. Вычислите длины дуг кривых, заданных уравнениями:

а) ;

б) .

14. Вычислите длину графика функции , где .

15. Вычислите несобственные интегралы: , , , .

16. Решите дифференциальные уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) .

17. Решите уравнение: ; .

18. Бросается монета 5 раз. Чему равна вероятность двукратного появления герба?

19. Игральная кость бросается 6 раз. Чему равна вероятность трехкратного появления единицы?

20. 10 000 деталей произвольно распределяются по 9 ящикам. Какова вероятность того, что в первом ящике не менее 1100 и не более 1200 деталей?

21. Вероятность того, что саженец ели прижился и будет успешно расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев ели. Какова вероятность того, что нормально вырастут не меньше 250 деревьев?

22. Дискретная случайная величина задана законом распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию.

23. а) Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Пусть события А1 = (первый стрелок попал в цель), А2 = (второй стрелок попал в цель). В чем заключается А1+А2? б) Пусть Р(А1) = 0,5 и Р(А2) = 0,4. Определите вероятность того, что только один стрелок попал в цель.

24. Дан ряд распределения дискретной случайной величины. Найти p ₁, и D (X).

25. Два станка производят одинаковые детали для машин. Первый станок производит 40%, а второй – 60% всех деталей. Брак выпускаемых деталей составляет соответственно 5% и 2%. Найти вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной.

26. Если вероятность появления события А в каждом из n независимых испытаний равна 0,3, то чему равна вероятность того, что в 6 испытаниях событие произойдет 2 раза?

27. В коробке находились 10 красных и 5 синих карандашей. Четыре карандаша случайно выпали из коробки. Найти вероятность того, что два из них красные.

28. Найдите вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика, произведение выпавших чисел будет кратна 5?

29. Кубик бросается 50 раз. Чему равна вероятность того, что 6 выпадет 30 раз?

30. Бросается игральный кубик. Стоимость одного броска равна 2 рубля. При выпадении числа 1 или 2 приз равен 1 рублю, при выпадении числа 3, 4 или 5 – 2 рубля и при выпадении числа 6 – 3 рубля. Стоит ли играть?

31. Дана плотность распределения вероятности случайной величины X: . Найти функцию распределения, параметр а и M (X).