Начертательная геометрия Монжа

Гаспар Монж (1746–1818) родился в маленьком городке Бон (Бургундия). Его отец, торговец Жан Монж, использовал все возможности, чтобы дать трем своим сыновьям самое лучшее образование. Что касается Гаспара, то его отец с шести лет определил в городскую школу монахов‑ораторианцев для получения начального образования, и мальчик очень скоро стал ее гордостью. В одном из документов школы, датированном 1762 годом, сообщалось, что Гаспар Монж прекрасно отвечал на вопросы «по арифметике, алгебре, пропорциям и логарифмам, а также по геометрии и блестяще решал задачи».

Гаспар Монж

После успешного окончания школы ее руководство рекомендовало Гаспара Монжа для дальнейшего обучения в коллеже Святой Троицы в Лионе. Он был принят туда и вскоре стал там (в 16 лет!) преподавателем физики, занимая это место до 1764 года. Для получения специального образования в 18 лет Монж поступил в Военно‑инженерную школу в Мезьере, но принят он был не в офицерский класс, так как не имел дворянского происхождения, а на отделение, готовившее мастеров и производителей работ. Там учащиеся овладевали основами алгебры, геометрии, черчения, а также изготавливали всевозможные модели зданий и фортификационных сооружений. В Мезьерской школе Монж быстро стал одним из первых учеников. Имея хорошую математическую подготовку, он легко и оригинально мог решать самые сложные задачи.

После окончания учебы Монж был оставлен в Мезьерской школе в качестве преподавателя: сначала ассистентом кафедры математики у профессора Шарля Боссю (1730–1814), а затем и ассистентом кафедры физики у профессора Жана‑Антуана Нолле (1700–1770). В 1770 году, после смерти Нолле и перевода Боссю на другую работу, Монж стал руководителем сразу обеих этих кафедр. Помимо физики и математики, он читал еще и курс по химии, а также теорию перспективы и теней. Именно в Мезьерский период своей жизни Монж начал развивать идеи начертательной геометрии и нашел для них многочисленные приложения, в частности, для расчетов рельефа крепостных сооружений.

Ученики школы того периода очень любили своего молодого профессора. Он не был красавцем, говорил скороговоркой и не всегда внятно, но зато был очень добр и никогда ни для кого не жалел своего личного времени. Часто на занятиях он подходил к какому‑либо зазевавшемуся слушателю со словами: «Друг мой, я повторю с того момента, с которого ты перестал меня понимать».

Профессор Монж умел передавать другим свое увлечение наукой, среди его учеников не было бездельников и отстающих. О своей же карьере он совершенно не заботился.

В 1777 году он женился, а через три года стал преподавателем гидравлики в Луврской школе в Париже. В эти годы он активно занимался вопросами математического анализа, химии, метеорологии, практической механики. За достижения в этих областях Парижская академия наук в 1780 году избрала 34‑летнего Монжа своим действительным членом.

Участие в заседаниях Академии требовало от молодого ученого постоянного пребывания в Париже, поэтому ему было разрешено по шесть месяцев в году находиться там. Во время отсутствия Монжа лекции в Мезьерской школе читал его младший брат Луи Монж (1748–1827), тоже профессор‑математик.

Когда началась Великая французская революция, Монж стал ее пылким сторонником. Эти годы для него были наполнены чрезвычайно активной общественной и практической деятельностью. Сначала он работал в комиссии по установлению новой системы мер и весов, затем стал одним из организаторов национальной обороны и французской военной промышленности. Случилось это при следующих обстоятельствах. 10 августа 1792 года после низложения короля Людовика XVI Монж был избран в состав временного правительства, где получил портфель морского министра. После создания Национального Конвента, окончательно упразднившего королевскую власть, в сентябре того же года он сохранил свой пост министра Республики, ответственного за морской флот. Объяснить подобное назначение далекого от проблем флота ученого можно так: после революции все специалисты‑аристократы в адмиралтействе разбежались, и нужен был просто преданный нации, авторитетный и честный человек.

Свою обожаемую математику Монж всегда стремился приложить к любой области, в какую бы ни забросила его судьба. Он был энциклопедистом, как и любой ученый того времени, и, став экзаменатором гардемаринов, он не делал будущим морским офицерам никакого снисхождения. Впрочем, флот в то время был не самым приоритетным направлением деятельности правительства. Гораздо больше Франция нуждалась в боеприпасах. При короле этим вопросом занимался гениальный Лавуазье, но его революционеры казнили, оголив тем самым наиважнейший фронт, а без пороха их ружья и пушки стали похожи на бесполезные в настоящем бою палки.

И вот за производство пороха взялся Монж. Вместе с Клодом‑Луи Бертолле он придумал, как и где добывать селитру во Франции. Результат оказался поразительным: если до 1789 года Франция потребляла не более миллиона фунтов селитры в год, стараниями Монжа и его сотрудников за десять месяцев ее было добыто 12 миллионов фунтов!

Но получить составляющие части – это еще не решение проблемы. Пороховые мельницы, число которых было весьма ограниченным, не успевали все это переработать. Тогда Монж предложил положить в обыкновенные бочки медные шары. Эти «мельницы в миниатюре» можно было разместить в любом дворе, и Франция его стараниями превратилась в огромный пороховой завод. Конечно, без всеобщего народного воодушевления эта огромная работа не могла бы быть выполнена, но и без гениальной головы Монжа ничего бы не получилось.

Пушки в то время делали из чугуна и бронзы. Чугунные пушки отливать было проще, но они были гораздо тяжелее. Как правило, их использовали на флоте или в крепостях. Число чугунно‑пушечных заводов Монж увеличил с четырех до тридцати. Вместо 900 орудий в год отливалось 30 тысяч. Число медно‑пушечных заводов стараниями Монжа возросло с двух до пятнадцати. Они стали выпускать семь тысяч орудий. Для этого в качестве источника меди стали использовать церковные колокола. Правда, состав колокольной меди не подходил для производства пушек, но Монж привлек химиков и нашел новые способы отделять медь от олова. Ранее для производства были необходимы глиняные формы орудий. Монж предложил отливать пушки в песке. Первую пушку, полученную таким способом, испытали на Марсовом поле, и весь Париж рукоплескал успешным результатам. Днем Монж не вылезал из мастерских, по ночам писал наставление «О пушечном искусстве». Все, что не относилось конкретно к вопросам обороны и вооружению армии, казалось несущественным.

...

Монж стойко переносил голод и холод. Он вообще питался в основном хлебом, позволяя подшучивать над собой. Известна, например, такая шутка: «Монж начал роскошествовать; теперь он ест редиску!»

Однажды мадам Монж узнала, что на ее мужа и Бертолле написан донос. Она побежала к Бертолле, но великий химик лишь задумчиво пробормотал: «Очень возможно, что нас осудят и поведут на гильотину, но это случится не раньше чем через восемь дней».

Почему через восемь дней и что будет через восемь дней, мадам Монж не поняла, но было очевидно, что ученого в это время волновало что‑то совсем другое. Сам же Монж в ответ на плач жены сказал: «Самое главное, что мои литейные чудесно работают».

В 1794 году вместе с Бертолле Монж стал основателем и первым профессором Политехнической школы – одного из лучших высших учебных заведений Франции (здесь он читал лекции более десяти лет). Этот вклад Монжа в науку трудно переоценить: в результате его плодотворной организаторской и преподавательской деятельности Политехническая школа быстро стала центром общенаучной подготовки высококвалифицированных специалистов, все крупные инженеры и математики Франции XIX века или окончили эту школу, или были ее преподавателями.

Вернувшись к научной деятельности, Монж посвятил себя начертательной геометрии. Так сейчас называется инженерная дисциплина, состоящая из набора алгоритмов для исследования свойств пространственных геометрических объектов и основанная на представлении этих объектов с помощью двух независимых проекций. Проще говоря, это наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проецирования на плоскости.

Однако основные сочинения Монжа по этому разделу были опубликованы лишь в 1799 году, так как долгие годы правительство Франции сохраняло эту дисциплину в секрете, квалифицируя ее как военную тайну. При этом известно, что свой значительный труд «Приложение анализа к геометрии» Монж создал в 1795 году. Этот труд представлял собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делался на дифференциальные уравнения.

В стенах Политехнической школы Монжу удалось добиться, чтобы начертательная геометрия и геометрия вообще стали центральными, определяющими предметами учебного курса. Он умел удивительно ясно и отчетливо излагать самые сложные вопросы.

В годы правления Директории [11] Монж сблизился с Наполеоном и именно благодаря ему достиг больших чинов и славы. Наполеон, как известно, никогда не выдвигал на высокие посты бездельников. А для Монжа он уже тогда был образцом государственного деятеля и полководца. Особо сблизились Наполеон и Монж в 1796 году в Италии, куда последний был направлен Директорией с поручением отобрать для музеев и хранилищ Парижа наиболее выдающиеся произведения науки и искусства.

Когда в 1797 году Наполеон подписал мир с австрийцами, Монж был послан из Милана в Париж для передачи этого документа Директории с целью его ратификации. При этом Наполеон писал о Монже так:

...

«Гражданин Монж знаменит своими знаниями и своим патриотизмом. Своим поведением в Италии он добился того, что французов зауважали. Он заслужил мою дружбу».

В 1797 году Монж содействовал вступлению Наполеона в Институт Франции (Национальный институт наук и искусств), созданный Конвентом вместо упраздненной в 1793 году «буржуазной» Академии наук.

Когда в октябре 1797 года Монж вернулся из Италии в Париж, он уже был в курсе желания Наполеона «приобщиться к науке» и тут же принялся «готовить общественное мнение». Помогал ему в этом другой преданный Наполеону академик – Клод‑Луи Бертолле. Удобный случай подвернулся очень кстати: в рядах академиков образовалось вакантное место. Но на него претендовало еще два человека, причем гораздо более известных в науке, чем генерал Бонапарт. Первым был Жак Диллон (1760–1807) – инженер, построивший первый во Франции железный мост, вторым – 84‑летний инженер Марк‑Рене Монталамбер (1713–1799), автор одиннадцатитомного сочинения по фортификации.

Тайное голосование имело место 25 декабря 1797 года: за Наполеона было подано 305 голосов, за Диллона – 166 голосов, за Монталамбера – 123 голоса. Как видим, преданные Монж и Бертолле не подвели: выбрали Наполеона, не имевшего научных трудов и иных заслуг, кроме побед на полях сражений. В газетах после этого было написано, что в академики был избран генерал Бонапарт, «удивительный человек, философ, вставший во главе армии».

Когда Наполеон стал планировать свою Египетскую экспедицию, он, ни минуты не сомневаясь, пригласил Монжа и Бертолле в свою «команду». Те с радостью согласились.

Для участия в экспедиции было привлечено около 150 ученых и специалистов, представлявших более пятнадцати различных профессий.

Историк Жан Тюлар приводит следующие данные:

...

«В путешествии приняли участие отобранные Монжем и Бертолле 21 математик, 3 астронома, 17 инженеров‑строителей, 13 натуралистов и горных инженеров, столько же географов, 3 химика, специалисты по пороху и селитре, 4 архитектора, 8 рисовальщиков, 10 механиков, 1 скульптор, 15 переводчиков, 10 литераторов, 22 наборщика».

...

Список имен ученых, поехавших с Наполеоном в Египет, впечатляет. Во главе его стояли Монж и Бертолле. Под их началом находились математики Жан‑Батист‑Жозеф Фурье (1768–1830) и Луи Костаз (1767–1842), химики Ипполит Колле‑Декотиль (1773–1815) и Жак‑Пьер Шампи (1744–1816), натуралист Этьен‑Жоффруа Сент‑Илер (1772–1844), астрономы Николя‑Антуан Нуэ (1740–1811) и Пьер‑Жозеф де Бошан (1752–1801), геолог Деода де Доломьё (1750–1801), художники Доминик Виван‑Денон (1747–1825), Анри‑Жозеф Редуте (1766–1852) и Андре Дютертр (1753–1842).

А многие светила французской науки, кстати сказать, отказались. В число «отказников» вошли, например, инженер‑математик Гаспар де Прони (1755–1839), химик Антуан‑Франсуа Фуркруа (1755–1809), естествоиспытатели Жорж‑Леопольд Кювье (1769–1832) и Фредерик Кювье (1773–1838).

Разумеется, у каждого на то были свои резоны. «Мой расчет, – объяснял свой отказ Жорж‑Леопольд Кювье, – таков: я сейчас нахожусь в центре наук, среди самых замечательных коллекций и уверен, что здесь, в Париже, сделаю куда более важные открытия, чем участвуя даже в самом плодотворном путешествии».

Уже в Каире Монж стал одним из основателей Института Египта.

Институт Египта – это было очень важное научно‑исследовательское заведение, состоявшее из четырех отделений: математики, физики, политической экономии, литературы и искусств. Вице‑президентом Института стал сам Наполеон, а президентом – Монж. Открытие этой «академии» было весьма торжественным, и при этом Наполеон заявил, что «торжество над невежеством есть величайшее из торжеств, а успехи его оружия – суть успехи просвещения».

В Египте Монж фактически стал правой рукой Наполеона. Много времени они проводили в научных дискуссиях, вместе ездили в Суэц, чтобы увидеть следы древнего канала, некогда соединявшего Нил с Красным морем.

Генерал Бонапарт и Сфинкс

В Египте, помимо всего прочего, Монж дал объяснение эффекту миражей, и это стало важной вехой в истории науки. До этого египтяне верили, что мираж – это призрак некоей несуществующей больше страны. Вот как описывал мираж Гаспар Монж:

...

«Когда поверхность земли сильно накалена солнцем и только‑только начинает остывать перед началом сумерек, знакомая местность больше не простирается до горизонта, как днем, а переходит, как кажется, в одном лье в одно сплошное наводнение. Деревни, расположенные дальше, выглядят, словно острова среди погибшего озера. Под каждой деревней ее опрокинутое изображение, только оно не резкое, мелких деталей не видно, как отражение в воде, колеблемое ветром. Если станешь приближаться к деревне, которая кажется окруженной наводнением, берег мнимой воды все удаляется».

Он объяснил это удивительное явление, опираясь на законы преломления и отражения света. Тем зеркалом, в котором французские ученые и солдаты видели отражение холмов и деревень, по мнению Монжа, был расположенный у самой земли и наиболее сильно прогретый слой воздуха. Температура воздуха резко падает по мере удаления от земли. У самой ее поверхности воздух преломляет свет слабее, чем на высоте. Люди всегда думали, что свет распространяется прямолинейно. Однако, как оказалось, это случается не всегда, а только там, где показатель преломления среды постоянен во всех направлениях. Египетские же «чудеса» происходят потому, что в оптически неоднородной атмосфере лучи света искривляются.

Наполеоновские ученые в Египте

После возвращения из Египта Монж в 1799 году смог наконец опубликовать свой фундаментальный труд «Начертательная геометрия», в котором он, объединив разрозненные данные о способах изображения пространственных фигур, свел их в стройную научную систему. Главное в этой системе заключалось в идее проецирования пространственных фигур на две взаимно перпендикулярные плоскости, что дало возможность выполнять на плоской поверхности листа чертежной бумаги решение всевозможных конструктивных задач с использованием обычных циркуля и линейки. Для Монжа начертательная геометрия была волшебной наукой. Вот характеристика, которую он дал ей:

...

«Эта наука имеет две главные цели. Первая – дать методы для изображения на листе чертежа, имеющего только два измерения, а именно длину и ширину, любых тел природы, имеющих три измерения – длину, ширину и высоту, при условии, однако, что эти тела могут быть точно заданы. С этой точки зрения это – язык, необходимый инженеру, создающему какой‑либо предмет, а также всем тем, кто должен руководить его осуществлением, и, наконец, мастерам, которые должны сами изготавливать различные части. Вторая цель начертательной геометрии – дать способ на основании точного изображения определять формы тел и выводить все закономерности, вытекающие из их формы и их взаимного расположения. В этом смысле она – средство искать истину; она дает бесконечные примеры перехода от известного к неизвестному. Она пригодна не только для того, чтобы развивать интеллектуальные способности великого народа, тем самым способствуя усовершенствованию рода человеческого, но она необходима для всех рабочих, цель которых – придавать телам определенные формы; и именно главным образом потому, что методы этого искусства до сих пор были мало распространены или даже совсем не пользовались вниманием, развитие промышленности шло так медленно».

Влюбленный в свое детище, Монж писал:

...

«Очарование, сопровождающее науку, может победить свойственное людям отвращение к напряжению ума и заставить их находить удовольствие в упражнении своего разума, что большинству людей представляется утомительным и скучным занятием».

В первом разделе «Начертательной геометрии» Монжа излагался метод проекций. Ученый исследовал возможные способы определения положения точки в пространстве и сделал вывод о том, что определять его следует не относительно трех плоскостей (таким приемом пользовались в аналитической геометрии), а при помощи лишь двух взаимно перпендикулярных плоскостей (горизонтальной и вертикальной).

Монж ввел понятие эпюр (от франц. ёриге – «чертеж, проект»), под которым следует понимать общую теорию построения ортогональных (расположенных под прямым углом) проекций трехмерного типа на плоском листе. В результате появилась возможность изображения любой детали в трех проекциях на одном чертеже, и метод Монжа стал основным методом составления технических чертежей.

Следует отметить, что в начертательной геометрии Монжа впервые появилась ось проекций, которая до него не была известна. Для того чтобы весь чертеж располагался на одном плоском листе бумаги, Монж разворачивал две плоскости посредством их вращения вокруг их линии пересечения, совмещая их в одну плоскость. Однако сам термин «ось проекции» у Монжа не встречается (он называл эту ось линией пересечения плоскостей проекций).

Второй раздел «Начертательной геометрии» был посвящен изучению построения касательных плоскостей и нормалей к криволинейным поверхностям. Монж определял касательную плоскость как плоскость, проведенную через две касательные к образующим в точке их пересечения. Нормалью к поверхности он называл прямую, проведенную через точку касания перпендикулярно касательной плоскости.

В третьем разделе «Начертательной геометрии» Монж исследовал вопросы пересечения кривых поверхностей, сыгравшие важную роль для развития теории машин и механизмов. Он замечал, что множество точек, общих для обеих поверхностей, представляет линию двоякой кривизны; в частности, она может выродиться в прямую или лежать в одной плоскости. Монж указывал при этом, что методы начертательной геометрии можно сопоставить с алгебраическими операциями. Он писал:

...

«Для наиболее эффективного изучения математики ученик должен как можно раньше привыкнуть чувствовать соответствие между операциями анализа и геометрии; с одной стороны, он должен уметь записывать аксиоматически все те движения в пространстве, которые он может себе представить, с другой – представлять себе постоянно в пространстве движущуюся картину, записью которой является каждая из аналитических операций».

В четвертом разделе «Начертательной геометрии» были помещены прикладные задачи, в том числе: нахождение центра и радиуса сферы, проходящей через четыре произвольно заданные точки пространства; вписание шара в данную треугольную пирамиду; построение проекции точки по заданным ее расстояниям до трех фиксированных точек и т. д.

Французский математик Мишель Шаль (1793–1880), рассматривая прикладную сторону «Начертательной геометрии» Монжа, в 1846 году заявил:

...

«Понятно, что начертательная геометрия должна была бы существовать во все времена. В самом деле, мастера каменного дела и плотники всегда определяли и набрасывали рисунки на плоскости (…) Было даже несколько руководств, и хороших (…) Тем не менее приурочить практические вопросы к необходимому числу отвлеченных и элементарных действий никому не приходило в голову, а в особенности собрать их все в одно руководство (…) с тем, чтобы придать им характер учения (…) Это задумал и выполнил с редким талантом Монж».

В пятом разделе «Начертательной геометрии» рассматривались некоторые теоретические вопросы кривизны пространственных кривых и поверхностей. Монж указывал возможные их применения в технике.

Еще одним важным разделом главного труда Монжа является принципиально новая «Теория перспективы». Позднее на ее основе французский математик Жан‑Виктор Понселе (1788–1867) построит свою проективную геометрию.

О перспективе Монж писал следующее:

...

«Искусство перспективы заключается в изображении на картине, форма и положение которой известны, предметов, также заданных по форме и положению, такими, как они кажутся глазу с определенной точки зрения».

Главная заслуга Гаспара Монжа состоит в том, что он познакомил людей с геометрией трех измерений и научил переходить от нее к плоской геометрии, и наоборот.

Академик Доминик‑Франсуа Араго (1786–1853) характеризует открытие Монжа следующим образом:

...

«Монж имел счастье открыть существенные свойства пространства, ограниченного поверхностями, способными для строгого определения. Архимед желал, чтобы на его гробнице была изображена сфера, вписанная в цилиндр. Монж имеет также полное право требовать, чтобы на его памятнике были начертаны прекрасные и общие свойства кривых линий.

Монж был основателем первой школы в мире, которой завидуют все государства и которая принесла неисчислимые услуги чистым и прикладным наукам».

...

А еще Монж был прекрасным лектором. Свои лекции по начертательной геометрии он всегда читал с большим подъемом, позволяя себе «лирические отступления», в которых содержалось много нового и интересного. Его речь буквально гипнотизировала слушателей. Ученики обожали своего профессора и после лекций провожали его до дома.

При этом Монж требовал от своих учеников не пассивного изучения предмета, а активности в решении задач, выходящих за пределы учебного курса. Многие его ученики стали крупными учеными. Ими, в частности, были член Директории и военный министр Лазар Карно (1753–1823), академики Огюстен‑Луи Коши (1789–1857) и Франсуа Дюпен (1784–1873), генерал‑лейтенант русской службы и главный директор путей сообщения России Августин де Бетанкур (1758–1824) и многие другие.

Когда Наполеон в 1799 году совершил переворот и захватил власть в стране, Монж последовал за новоявленным диктатором. После провозглашения Империи знаменитый ученый был сделан сенатором (в 1806 году он даже председательствовал в сенате), кавалером ордена Почетного легиона и графом де Пелюз (графский титул он получил в 1808 году по имени города в дельте Нила). Ему были дарованы поместья и многочисленные знаки отличий.

Гаспар Монж

И все же, хотя Монж и обожал Наполеона, это не мешало ему стоять за правду. Когда Наполеон превратил республику в империю, некоторые воспитанники Политехнической школы отказались приносить ему присягу. Возмущенный император захотел сурово наказать зачинщиков этого неповиновения, но Монж смело выступил на их защиту: «Государь, мы долго старались сделать их республиканцами, дайте им, по крайней мере, время превратиться в сторонников империи. Вы поворачиваете слишком круто!» Монж оказался одним из немногих, кто не оставил своего императора после разгрома при Ватерлоо. Ежедневно он являлся в опустевший Мальмезонский дворец к своему кумиру – ведь их связывала почти двадцатилетняя дружба.

После возвращения во Францию Бурбонов бонапартист Монж был лишен всех званий, титулов и наград. Его изгнали из Политехнической школы и Академии наук, он вынужден был скрываться от властей. Его место в Академии кто‑то должен был занять. Найдется ли во Франции математик, настолько лишенный представлений о приличии, чтобы занять место этого крупнейшего ученого, создателя Политехнической школы, воспитавшей десятки ученых с мировым именем?..

И такой человек нашелся. Им стал ученик Монжа Огюстен‑Луи Коши, написавший за свою жизнь свыше 800 работ по математическому анализу, теории интегральных вычетов, теории чисел и т. д. В 1816 году он проявил себя ярым монархистом. После этого по очищенному от сторонников Наполеона Парижу пошел шепот тех, кто в глубине души сочувствовал Монжу: «Его место беззастенчиво занял Коши – великий ученый, не наделенный, однако, совестью».

Гаспар Монж умер 28 июля 1818 года. Он ушел из жизни в полной нищете и забвении, его немногочисленным друзьям даже было запрещено участвовать в его похоронах. Один лишь Бертолле, его верный друг, осмелился произнести речь в его память.

Ученики Политехнической школы на могиле Гаспара Монжа

Лишь в 1820 году выпускникам Политехнической школы удалось добиться почетного захоронения Монжа на престижном парижском кладбище Пер‑Лашез. А в декабре 1989 года его останки были перенесены в Пантеон, где покоятся самые знаменитые люди Франции.