Теорема Гюйгенса - Штейнера

Найдем зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и z', одна из которых проходит через центр масс С тела. Проведем остальные оси так, как это показано на рис. 3.6

Рис 3.6. К выводу теоремы Гюйгенса-Штейнера

По определению осевых моментов инерции (3.10) имеем

, ,

Из рис. 3.6

, .

Тогда

Так как и согласно (3.8) получаем

. (3.15)

Формула (3.15) выражает теорему Гюйгенса-Штейнера:.

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Из теоремы следует, что наименьший момент инерции - это момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс.

В заключение рассмотрим, в чем проявляется влияние введенных характеристик распределения масс на частном примере вращения стержня с двумя одинаковыми шарами (см. рис. 3.7)

Рис 3.7 Влияние моментов инерции на динамические реакции

Если , то центр масс системы не лежит на оси z и при вращении появится постоянное по величине давление на подшипники; если h1 = h2, то этих давлений не будет. Если шары раздвинуть, сохраняя h1 = h2, положение центра масс не изменится, но увеличится Jz и при прочих равных условиях вращение будет происходить медленнее. Если стержень сделать наклонным по отношению к оси z (сохраняя h1 = h2), то ни положение центра масс ни осевой момент инерции Jz не изменятся, но центробежный момент инерции Jyz уже не будет равен нулю, а ось z не будет главной; в результате при вращении появятся «биения оси» - переменные по величине давления на подшипники, приводящее к их быстрому износу.

Задачи динамики и их решение
В теоретической механике принимается, что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во всех точках пространства и во всех системах отсчета (абсолютное время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела или системы координатных осей, связанных с этим телом