Числовые ряды, сходимость, сумма ряда, необходимое условие сходимости (с доказательством)

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂,…u_n… соединенных знаком сложения:

(1) где u₁, u₂,…u_n…- члены ряда, а член u_n – общий или n-ый член ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .

Сумма первых n членов ряда (1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S_n, т.е. .

Рассмотрим частичные суммы

, , ,…

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Теорема (1). Если ряд сходится, то его общий член un стремится к нулю при , .Доказательство. Пусть ряд сходится и . Тогда и (при и ). Учитывая, что при , получаем:

Теорема (1) дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

\

10. Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела, и А-попадание при первом выстреле, В-попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из следующих событий: А,В,С,А и В,А и С,В и С,А и В и С. Пусть события А и В – несовместные, причём вероятность этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на данный вопрос даёт теорема сложения.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Доказательство: Введём обозначения: n-общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ – число исходов, благоприятствующих событию А; m₂ – число исходов, благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁+m₂. Следовательно, P(A+B)=(m₁+m₂)/n=m₁/n+m₂/n. Приняв во внимание, что m₁/n=P(A) и m₂/n=P(B), окончательно получим: P(A+B)=P(A)+P(B).

Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого. Равна сумме вероятностей этих событий.

11.Теорема умножения вероятностей: Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятность Р(А) и Р_А(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос даёт теорема умножения.

Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что перовое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)

Доказательство: По определению условной вероятности, Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А). Отсюда Р(АВ)=Р(А)Р_А(В). Применив формулу Р(АВ)=Р(А)Р_А(В) к событию ВА, получим: Р(ВА)=Р(В)Р_В(А) или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ: Р(АВ)=Р(В)Р_В(А). Сравнив формулы Р(АВ)=Р(А)Р_А(В) и Р(АВ)=Р(В)Р_В(А), заключаем о справедливости равенства: Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А).

Следствие: Вероятность совместного появления нескольких событий равна и произведению вероятности одного из них на условие вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.