Производная по направлению и градиент

Пусть дана дифференцируемая функция . Рассмотрим точку , тогда частные производные и определяют скорость изменения функции

в направлении осей соответственно. Пусть луч , исходящий из точки

в направлении единичного вектора. Через обозначим расстояние от точки и : Предел отношения при , если он существует, называется производной функции в точке в направлении вектора и обозначается через :

Среди всех направлений можно выделить одно, в котором скорость изменения функции будет наибольшей. Соответствующее направление определяется вектором ,который называется градиентом функции в точке . Градиент функции обозначается одним из символов: греческая буква” набла“).Производная по направлению в точке задает скорость изменения функции в точке в направлении.

8. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, вывод его решения.

Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде

, (1)

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых . Тогда, разделив обе части уравнения на , получим .

Общим интегралом уравнения будет .

Замечания.

1. При проведении почленного деления дифференциального уравнения на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения.

2. Уравнение также сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого положим . Умножим обе части на dx и разделим переменные.

3. Уравнение , где a,b,c – числа, путем замены сведется к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Дифференцируя по x, получим Данное уравнение примет вид: , или ,

.Интегрируя это уравнение и заменяя u на , получим общий интеграл исходного уравнения.